如何求这个二元非齐次式的取值范围？

O-17

已知正实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-xy=1$ , 求 $x+y+xy$ 的取值范围.
答案应该是 $\left(1,3\right]$ , 如何用不等式 ( 或其他方法 ) 解决这个问题呢?

Czhang271828

选填题思路: 观察对称轴与判别式可知, $x^2+y^2-xy=1$ 是长轴在 $x=y$ 上, 短轴在 $x=-y$ 上的椭圆, 令 $(x,y)=(t,t)$ 与 $(x,y)=(t,-t)$ 可算出半长轴半短轴具体值.

然后, $xy+x+y=k=(x+1)(y+1)=k+1$ 自然就是反比例函数, 画个图直接出答案 (交点在第一象限).

kuing

最大值方面易证 `xy\le1` 及 `x+y\le2`。
另一面由于变量有正数限制故考虑端点 (0,1) 或 (1,0)，于是考虑证 x+y>1，平方显然。

isee

“旋转”一下.

令 $x=a-b$，$y=a+b$，则原题转化为 $a^2+3b^2=1$，求 $2a+a^2-b^2$，于是目标式化为一元函数，且关于 $a$ 单调
\begin{align*}
2a+a^2-b^2&=\frac43a^2+2a-\frac13,
\end{align*}

明显的 $a\leqslant 1$，进而转化求 $2a=x+y$ 的范围.
原式配方化为\[(x+y)^2=1+3xy>1\Rightarrow 2a>1,\]
亦即 $\frac 12<a\leqslant 1$，于是所求的范围$(1,3]$.

O-17

提供一种解法, 由约束条件有 $(x+y)^2=1+3xy$ 则
\begin{align}
x+y+xy&=(x+y)+\frac{(x+y)^2-1}{3}\\&=\frac{t^2}{3}+t-\frac13
\end{align}
其中 $t=x+y$
一方面, 由均值不等式
$$
(x+y)^2=1+3xy\geqslant1+3\left(\frac{x+y}{2}\right)^2
$$
可得 $x+y\leqslant2$ , 另一方面
$$
(x+y)^2=1+3xy>1
$$
可得 $1<t\leqslant2$ , 所以
$$
1<\frac{t^2}{3}+t-\frac13\leqslant3
$$
即所求的取值范围是$\left(1,3\right]$ .