长沙2025届高三第14题 三角形外接圆半径为5，求 $\frac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$ 最大值

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源自知乎提问

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长沙2025年高三1月适应考第14题：

三角形 ABC 的外接圆半径为 R=5，则 $\frac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$ 的最大值为______.

其实是外森比克不等式推广的应用了.

不过，从系数比，可取点 D，使得 $BD=\frac13BC$ ，则由Stewart 定理知 \begin{align*}
AD^2&=\frac13b^2+\frac23c^2-\frac29a^2,\\[1ex]
b^2+2c^2&=\frac23a^2+3AD^2,
\end{align*} 再记 BC 边上的高为 $\color{blue}{h\leqslant AD}$ ，所以依均值不等式，有 \begin{align*}
a^2+b^2+2c^2&=a^2+\frac23a^2+3AD^2\\[1ex]
&=\frac53a^2+3AD^2\\[1ex]
&\geqslant2\sqrt5 a\cdot AD\\[1ex]
&=4\sqrt 5\left(\frac12\cdot a\cdot AD\right)\\[1ex]
&\geqslant 4\sqrt 5\left(\frac12\cdot a \cdot h\right)\\[1ex]
&=4\sqrt5S_{\triangle},\\[1ex]
\Rightarrow \frac{S_{\triangle ABC}}{a^2+b^2+2c^2}&\leqslant \frac1{4\sqrt 5},
\end{align*} 又 \begin{align*}
\frac{abc}{a^2+b^2+2c^2}&=\frac{4RS_{\triangle}}{a^2+b^2+2c^2}\\[1ex]
&\leqslant \frac{R}{\sqrt5}=\sqrt5.\\

\end{align*} 取等条件为图 1 中 $AD=h$ 亦即 AD 与 BC 上的高重合时，取得最大值.

——也就是 BC 边的高，垂足将 BC 三等份，对 $a^2+mb^2+nc^2$ 猜测也是这样的分点 $D$，$BD=\frac{m}{m+n}BC$ 且使 $AD$ 为高.