有意思的解三角形问题

力工

用特殊图形（正三角形）容易得到结果，但直接老实做却有点难。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=60\du$，$D,E$是边$BC$上的三等分点，$\vv{BD}=\vv{DE}=\vv{EC}$，求$\frac{\sin DAE}{\sin BAD\cdot \sin EAC}$的值($2\sqrt{3}$).

kuing

很简单：设 `\triangle ABC` 的面积为 `3S`，则那三个小三角形的面积都为 `S`，则
\[\sin\angle DAE=\frac{2S}{AD\cdot AE},~\sin\angle BAD=\frac{2S}{AB\cdot AD},~\sin\angle CAE=\frac{2S}{AC\cdot AE},\]
所以
\[\frac{\sin\angle DAE}{\sin\angle BAD\sin\angle CAE}=\frac{AB\cdot AC}{2S}=\frac{3AB\cdot AC}{2\S{ABC}}=\frac3{\sin\angle BAC}=2\sqrt3.\]

kuing

易得一般地：
在 $\triangle ABC$ 中，边 `BC` 上的两点 `D`, `E`（`BDEC` 顺次排列）将 `BC` 分成比例为 `x:y:z` 的三段，则
\[\frac{\sin\angle DAE\cdot\sin\angle BAC}{\sin\angle BAD\cdot\sin\angle EAC}=\frac{y(x+y+z)}{xz}.\]

敬畏数学

确实一道比较基础的数学题啊！😂

kuing

咦，咋“敬畏数学”的用户名变成了“Baidu”？@hbghlyj 咋回事？