|
|
源自知乎提问
题：证明：在三角形 ABC 中，acosA+bcosB+ccosC≤(a+b+c)/2?
已有化边漂亮的证明，我来化角试试. 由正弦定理知\begin{gather*}
a\cos A+b\cos B+c\cos C\leqslant \frac{a+b+c}2\\[1em]
\iff 2(\sin A\cos A+ \sin B\cos B+ \sin C\cos C)\leqslant\sin A+\sin B+\sin C\\[1em]
\iff \sin 2A+\sin2B+\sin2C\leqslant\sin A+\sin B+\sin C,
\end{gather*}
左，右两边各和差化积便有有 \begin{gather*} 4\sin A\sin B\sin C\leqslant 4\cos \frac A2\cos \frac B2\cos \frac C2\\[1em] \iff\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\leqslant \frac 18, \end{gather*} 这是成立，由 AG-GM，Jensen 不等式知\begin{align*} \sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2&\leqslant\left(\frac{\sin\frac A2+\sin\frac B2+\sin\frac C2}3\right)^3\\[1ex] &\leqslant \left(\sin\frac{A/2+B/2+C/2}3\right)^3\\[1ex] &=\frac 18. \end{align*} |
|
kuing
发表于 2022-12-6 22:23
