高次超越方程的判断题

力工

已知曲线$C:(x^2+y^2-1)^3-7\sin^2x+7\cos^2x=6$,则_____(填题号)成立:
(1)$C$上存在点$P(x,y)$，$|OP|=1$
(2)$C$上所有点$P(x,y)$，$|x|+|y|<3$.

kuing

不是 \ sin 是 \sin

kuing

没超越什么事，是简单题。

（1）曲线即 `(x^2+y^2-1)^3=6-7\cos2x`，而易证 `\cos2x=6/7` 在 `[-1,1]` 上有解，所以（1）正确；

（2）`(x^2+y^2-1)^3=6-7\cos2x\leqslant13`，所以 `x^2+y^2\leqslant\sqrt[3]{13}+1<\sqrt[3]{27}+1=4`，因此 `\abs x+\abs y\leqslant\sqrt{2(x^2+y^2)}<\sqrt8<3`，所以（2）也正确。

力工

如果改一下呢？请教kuing大神。学着试了下，上面的方法就不行了。
已知曲线$C:(x^2+y^2-1)^3-7\sin^2x+7\cos^2y=6$,则_____(填题号)成立:
(1)$C$上存在点$P(x,y)$，$|OP|=1$
(2)$C$上所有点$P(x,y)$，$|x|+|y|<3$.

kuing

力工 发表于 2024-11-15 15:55
如果改一下呢？请教kuing大神。学着试了下，上面的方法就不行了。
已知曲线$C:(x^2+y^2-1)^3-7\sin^2x+7\cos^2y=6$,则_____(填题号)成立:
(1)$C$上存在点$P(x,y)$，$|OP|=1$
(2)$C$上所有点$P(x,y)$，$|x|+|y|<3$.

也不难，（2）可以照搬上面的方法，过程略；

而（1）可以用反证法：

方程变为 `(x^2+y^2-1)^3=7\sin^2x+7\sin^2y-1`。

假设 `x^2+y^2=1`，则 `\sin^2x+\sin^2y=1/7`，则 `\sin^2x\leqslant1/7<1/4`，于是 `\abs x<\pi/6`，同理 `\abs y<\pi/6`，则 `x^2+y^2<\pi^2/18<1`，矛盾，所以不存在。

敬畏数学

$ x^2+y^2=1 $，则估算目标式的范围$ (\frac{1}{2},1) $