tan(sin(x))＞sin(tan(x))

hbghlyj

帖子 $$\tan{(\sin{x})}>\sin{(\tan{x})},0<x<\dfrac{\pi}{2}$$证明  设$f(x)=\tan (\sin x)-\sin (\tan x)$,则$f'(x)=\sec ^{2}(\sin x) \cos x-\cos (\tan x) \sec ^{2} x=\frac{\cos ^{3} x-\cos (\tan x) \cos ^{2}(\sin x)}{\cos ^{2}(\sin x) \cos ^{2} x}$
当${0 < x <}{\arctan}\frac{{\pi}}{{2}}$时$0 < \tan x < \frac{\pi}{2},0 < \sin x < \frac{\pi}{2}$
由余弦函数在$(0,π/2)$上的凸性有\[\sqrt[3]{\cos(\tan x)\cos^{2}(\sin x)} \leq \frac{1}{3}\lbrack\cos(\tan x) + 2\cos(\sin x)\rbrack \leq \cos\frac{\tan x + 2\sin x}{3}.
\]设$\phi(x) = \tan x + 2\sin x - 3x,\phi'(x) = \sec^{2}x + 2\cos x - 3 = \tan^{2}x - 4\sin^{2}\frac{x}{2} > 0.$
于是\(\tan x + 2\sin x > 3x\),所以\(\cos\frac{\tan x + 2\sin x}{3} < \cos x\),即\(\cos{\tan x}\cos^{2}{\sin x} < \cos^{3}x\).\(
\)于是当 \(x \in \left( 0,\arctan\frac{\pi}{2} \right)\)时\(f'(x) > 0\),又 \(f(0) = 0\),所以\(f(x) > 0.\)
当\(x \in \left\lbrack \arctan\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\),\(\sin{\arctan\frac{\pi}{2}} < \sin x < 1\).由于\(\sin{\arctan\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{\sqrt{4 + \pi^{2}}} > \frac{\pi}{4},\)故\(\frac{\pi}{4}<\sin x<1.\)于是\(1<\tan{\sin x}<\tan 1.\)

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事实上$\tan{(\sin{x})}-\sin{(\tan{x})}=\dfrac{1}{30}x^7+o(x^7),x\to 0$,见此处.

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/700236/how-prove-this-inequality-tan-sinx-sin-tanx

Jack D'Aurizio 的证明

考虑到：
$$\tan(\sin x)=\int_{0}^{\sin x}\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\int_{0}^{\sin x}\frac{d\theta}{1-\sin^2\theta}=\int_{0}^{x}\frac{\cos\psi\,d\psi}{\cos^2(\sin\psi)},$$
而：
$$\sin(\tan x)=\int_{0}^{\tan x}\cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{x}\frac{\cos(\tan\psi)\,d\psi}{\cos^2\psi}.$$
由于对于任何 $x>1$，我们有：
$$\tan(\sin x)>\tan(\sin 1)>\frac{19}{17},\qquad \sin(\tan x)\leq 1,$$
我们只需证明对于任意 $\theta\in[0,1]$：
$$\cos^3\theta \geq \cos(\tan\theta)\cos^2(\sin\theta)\tag{1}$$
成立，或者对于任意 $u\in[0,\tan 1]$：
$$\frac{1}{(1+u^2)^{3/2}}\geq \cos(u)\cos^2\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right).\tag{2}$$
由于 $\log\cos x$ 在该区间内是一个凹函数，我们只需证明：
$$\forall u\in[0,\tan 1],\qquad (1+u^2)\cdot\cos^2\left(\frac{1}{3}\left(u+\frac{2u}{\sqrt{1+u^2}}\right)\right)\leq 1,$$
或：
$$\forall \theta\in[0,1],\qquad \cos^2\left(\frac{\tan\theta+2\sin\theta}{3}\right)\leq \cos^2\theta,$$
$$\forall \theta\in[0,1],\qquad \tan\theta + 2\sin\theta \geq 3\theta.\tag{3}$$
最后一个不等式显然是正确的，因为根据 AM-GM 不等式，
$$\frac{1}{\theta}\int_{0}^{\theta}\left(\frac{1}{\cos^2 u}+2\cos u\right)\,du\geq 3.$$

Tesla35

参见
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9050