有点诡异的三角函数求最值

facebooker

求$f(x)=\dfrac{39\cos x+17\sin x-1}{\sin x\cos x},(0<x<\frac{\pi}{2})$的最小值__

kuing

也是“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型，数据必定是设计好的。

所以还是老套路，先暴力算出答案，再凑装逼解法。

用万能代换求导发现有简单根，可算出答案是 `75`，于是直接对 `39\cos x+17\sin x-1-75\sin x\cos x` 进行配方就好了。

解：注意到
\begin{align*}
&39\cos x+17\sin x-1-75\sin x\cos x\\
={}&\frac1{16}(15\cos x-20\sin x+7)^2+\frac1{16}(5-4\sin x-3\cos x)(100\sin x+75\cos x-13),
\end{align*}
显然 `5-4\sin x-3\cos x\geqslant0`，且当 `x` 为锐角时 `100\sin x+75\cos x>75>13`，所以上式非负，即得 `f(x)\geqslant75`，当 `(\sin x,\cos x)=(4/5,3/5)` 时取等。

facebooker

kuing 发表于 2024-9-24 04:16
也是“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型，数据必定是设计好的。

所以还是老套路，先暴力算出答案， ...

解法绝了！