求证一道n元分式不等式

lemondian

设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$为正实数，记$S=a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n$，求证$$\dfrac{1}{S-a_1^n+a_1a_2\cdots a_n}+\dfrac{1}{S-a_2^n+a_1a_2\cdots a_n}+\cdots \dfrac{1}{S-a_n^n+a_1a_2\cdots a_n}\leqslant \dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$$

kuing

很简单，由
\[S-a_1^n=a_2^n+a_3^n+\cdots+a_n^n\geqslant a_2a_3\cdots a_n(a_2+a_3+\cdots+a_n),\]
得
\begin{align*}
\frac1{S-a_1^n+a_1a_2\cdots a_n}&\leqslant\frac1{a_2a_3\cdots a_n(a_2+a_3+\cdots+a_n+a_1)}\\
&=\frac1{a_1a_2a_3\cdots a_n}\cdot\frac{a_1}{a_1+a_2+\cdots+a_n},
\end{align*}
其余项类似，求和即得。

lemondian

显然：
1#的3元与4元如下：
例1：若$a,b,c>0$，求证：$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\leqslant \dfrac{1}{abc}$.
例2：若$a,b,c,d>0$，求证：$\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\dfrac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\dfrac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\dfrac{1}{d^4+a^4+b^4+abcd} \leqslant \dfrac{1}{abcd}$.

然后有人说，例1与例2可以统一推广为题2，并可以进一上步推广为题3：
题2：设正整数$n>m$，$x_k>0,x_1x_2\cdots x_n=1$.
求证：$\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k+x_{k+1}+\cdots x_{k+m-1}+n-m}\leqslant 1$.

题3：设正整数$n>m$，$x_k>0,x_1x_2\cdots x_n=1$，实数$t\geqslant n-m$.
求证：$\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k+x_{k+1}+\cdots x_{k+m-1}+t}\leqslant  \dfrac{n}{t+m}$.


我有2个问题：
（1）为什么例1与例2可推广为题2与题3？
（2）题2与题3如何证明？

kuing

hbghlyj 发表于 2025-5-21 02:49
math.stackexchange.com/a/5066942
题2当 \(n=m+1\) 时，记
\[

n=m+1 明显等价于 1# 啊，还用证吗

@lemondian 最近没什么撸题欲……😌😪……

lemondian

lemondian 发表于 2025-5-19 17:02
显然：
1#的3元与4元如下：
例1：若$a,b,c>0$，求证：$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\df ...

只需证 $\frac{1}{x_1+x_2+\cdots+x_m+n-m} \leqslant \frac{x_{m+1}^t+x_{m+2}^t+\cdots+x_n^t}{(n-m)(x_1^t+x_2^t+\cdots+x_n^t)}$ ，其中 $t$ 待定
等价于 $(n-m)\left(x_1^t+x_2^t+\cdots+x_m^t\right) \leqslant\left(x_1+x_2+\cdots+x_m\right)\left(x_{m+1}^t+x_{m+2}^t+\cdots+x_n^t\right)$
由 $x_{m+1}^t+x_{m+2}^t+\cdots+x_n^t \geqslant(n-m)\left(x_{m+1} x_{m+2} \cdots x_n\right)^{\frac{t}{n-m}}$，只需证$x_1^t+x_2^t+\cdots+x_m^t \leqslant\left(x_1+x_2+\cdots+x_m\right)\left(x_{m+1}, x_{m+2} \cdots x_n\right)^{\frac{t}{n-m}}$
我们希望 $0<t<1$，如此可利用 $x_1+x_2+\cdots+x_m$ $\geqslant \frac{1}{m}\left(x_1^t+x_2^t+\cdots+x_m^t\right)\left(x_1^{1-t}+x_2^{1-t}+\cdots+x_m^{1-t}\right)$ (切比雪夫不等式)
$\geqslant\left(x_1^t+x_2^t+\cdots+x_m^t\right)\left(x_1 x_2 \cdots x_m\right)^{\frac{1-t}{m}}$
故只需证 $\left(x_1 x_2 \cdots x_m\right)^{\frac{1-t}{m}}\left(x_{m+1} x_{m+2} \cdots x_n\right)^{\frac{t}{n-m}} \geqslant 1$
于是令 $\frac{1-t}{m}=\frac{t}{n-m}$ 即可，解得 $t=\frac{n-m}{n}$，发现满足 $0<t<1$

lemondian

lemondian 发表于 2025-5-19 17:02
显然：
1#的3元与4元如下：
例1：若$a,b,c>0$，求证：$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\df ...

如何由推广（题2，题3）反过来得到例1，例2呢?

lemondian

lemondian 发表于 2025-5-19 17:02
显然：
1#的3元与4元如下：
例1：若$a,b,c>0$，求证：$\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\df ...

题2：设正整数$n>m$，$x_k>0,x_1x_2\cdots x_n=1$.
求证：$\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k+x_{k+1}+\cdots x_{k+m-1}+n-m}\leqslant 1$.

这个不等式的左边有点怪怪的，不用求和符号，则最后一项是不是这样？
$\frac{1}{x_n+x_1+x_2+\cdots x_{m-2}+n-m}$

lemondian

lemondian 发表于 2025-5-26 15:56
只需证 $\frac{1}{x_1+x_2+\cdots+x_m+n-m} \leqslant \frac{x_{m+1}^t+x_{m+2}^t+\cdots+x_n^t}{(n-m)(x_ ...

题3如何证明？与题2的证明有关不？