一个猜想不等式

lemondian

猜想：已知$a_i(i=1,2,\cdots ,n)$是正实数，$k\geqslant 2,k\inN,$且
$\prod_{i=1}^na_i(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i})=n$，则$\prod_{i=1}^n(1+a_i^k)\geqslant 2^n$。

1+1=？

容易证明n等于三的情况