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源自知乎提问
题：在三角形 ABC 中，若 $\sin A+2\sin B=2\sin C$ ，则 $\dfrac1{\sin A}+\dfrac1{\sin B}-\dfrac1{\sin C}$ 的最小值为______.
由正弦定理知 $\sin A=2(\sin C-\sin B)\iff a=2(c-b)$ ，再由余弦定理有 \begin{gather*}
a^2=(b-c)^2+2bc(1-\cos A)=\frac{a^2}4+2bc(1-\cos A),\\[1ex]
3a^2=8bc(1-\cos A),\\[1ex]
\frac{\sin A(\sin C-\sin B)}{\sin B\sin C}=\frac{a^2}{2bc}=\frac{4-4\cos A}3.
\end{gather*} 再次由正弦定理，有
\begin{align*}
&\quad\;\frac1{\sin A}+\frac1{\sin B}-\frac1{\sin C}\\[1ex]
&=\frac1{\sin A}\cdot\left(1+\frac{\sin A(\sin C-\sin B)}{\sin B\sin C}\right)\\[1ex]
&=\frac1{\sin A}\cdot\left(1+\frac{4-4\cos A}3\right)\\[1ex]
&=\frac{7-4\cos A}{3\sin A}\\[1ex]
&\geqslant \sqrt{\frac{49-16}{9}}=\frac{\sqrt{33}}3.
\end{align*}
最后的最小值不难由辅助角公式可求. |
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kuing
Posted at 2023-2-20 01:17:19
