初高中都适合的三角形问题

力工

可能对初中生来说还是难了点吧？请大佬康康。
如图，在$Rt\triangle ABC$中，$C=90\du,AD$是$\triangle ABC$的一条角平分线，$E$为$AD$的中点，连接$BE$,若$BE=BC,CD=2$，求$BD$的长。

战巡

连$CE$，显然$AE=ED=CE$，且$\angle CDE=\angle DCE$，然后易证$\Delta CBE\sim\Delta ECD$，有$CE^2=CD\cdot BC$
令$AC=b, AB=c, AE=ED=CD=d, BD=x$，于是有

1、勾股定理
\[b^2+(1+x)^2=c^2\]
2、勾股定理
\[b^2+1^2=(2d)^2\]
3、角平分线定理
\[\frac{b}{c}=\frac{1}{x}\]
4、上述关系
\[d^2=1\cdot (1+x)\]
最后解出来
\[b=\sqrt{4+\sqrt{17}},c=\frac{1}{4}\sqrt{106+26\sqrt{17}},d=\frac{1}{2}\sqrt{5+\sqrt{17}},x=\frac{1+\sqrt{17}}{4}\]

星奔川骛

构造\(\triangle CDG\sim\triangle FBE\)
那么\(\frac{DG}{BE}=\frac{CD}{BF}即\frac{x}{x+2}=\frac{2}{x+1}便解得BD=x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)