一个暴算的解三角形，求高端

力工

已知$AD$是$\triangle ABC$边$BC$上的高，$c\geqslant b,b+c=2,a+AD=\sqrt{5}$，求垂足在$D$在$BC$边上还是在其延长线上。
此题硬算可解，还可列出$\sqrt{c^2-AD^2}\pm\sqrt{b^2-AD^2}=a$,求出$a=\frac{4\sqrt{5}}{5},b=c=1$，请教大神们有没有更高级的看法。

kuing

设 `D` 为原点，`A(0,h)`, `B(m,0)`, `C(n,0)`, `h>0`, `m<n`，则 `a=n-m`, `b=\sqrt{h^2+n^2}`, `c=\sqrt{h^2+m^2}`，由条件得
\begin{align*}
2&=b+c\\
&=\sqrt{h^2+n^2}+\sqrt{h^2+(-m)^2}\\
&\geqslant\sqrt{(h+h)^2+(n-m)^2}\\
&=\frac2{\sqrt5}\sqrt{\frac14+1}\sqrt{4AD^2+a^2}\\
&\geqslant\frac2{\sqrt5}(AD+a)\\
&=2,
\end{align*}
那只能两个“`\geqslant`”同时取等，第一个“`\geqslant`”的取等条件为 `n=-m`，所以 `D` 为 `BC` 中点，第二个“`\geqslant`”的取等条件为 `4AD=a`，所以 `AD=\sqrt5/5`, `a=4\sqrt5/5`。