向量条件下求角范围（一个群里问的）

山川浮云

在平行四边形 $A B C D$ 中，$\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{2 \overrightarrow{A D}}{|\overrightarrow{A D}|}=\frac{\lambda \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$，则 $\cos \angle A B D$ 的范围是（）
A．$\left[\frac{\sqrt{6}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right]$
B．$\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
C．$\left[\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
D．$\left[\frac{\sqrt{6}}{4}, \frac{5 \sqrt{2}}{8}\right]$

我想是经过缩放，变为两邻边为1和2，一对角线为λ的求角的问题，求出另一对角线，利用余弦定理变成代数式求范围。
是否有几何意义或其他好方法，求教大侠

力工

回复 1# 山川浮云

觉得实际是个解三角形问题

山川浮云

是的，这个后续过程麻烦些，想考虑几何直观解决

色k

因为 $\vv{AB}+\vv{AD}=\vv{AC}$，对比条件，得 `AB:AD:AC=1:2:\lambda`，于是 `\lambda` 的范围的几何意义就是如下图：

点 `C` 需要在环形内（含边界），很明显 `AC` 随 `\angle ABD` 的递增而递增，所以只需计算 `C` 在边界上的情况即可。

当 `C` 在大圆上时比较简单，无需余弦定理，易得 `BD=\sqrt6` 及 `\cos\angle ABD=\sqrt6/4` ；
当 `C` 在小圆上时，由 `BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)` 得 `BD=2\sqrt2`，再用余弦定理得 `\cos\angle ABD=5\sqrt2/8`。

山川浮云

回复 4# 色k


完美