已知a、b、c分别对应着A、B、C的边，求$\frac{a}{b\sin C}+\frac{1}{\tan A}$的最小值

走走看看

抖音中有人给出答案是√3，但网页上和小猿搜题都给出了1和2两个答案。
仔细看了下，两个答案的解答过程都有问题。

抖音中引用了外森比克不等式。如果不用的话，是否也可以求出来呢？

kuing

\begin{align*}
\frac a{b\sin C}+\frac1{\tan A}&=\frac{\sin A}{\sin B\sin C}+\frac1{\tan A}\\
&=\frac{2\sin A}{\cos(B-C)+\cos A}+\frac1{\tan A}\\
&\geqslant\frac{2\sin A}{1+\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}\\
&=\frac{\cos A+2-\cos^2A}{(1+\cos A)\sin A}\\
&=\frac{2-\cos A}{\sin A},
\end{align*}
然后
\[\cos A+\sqrt3\sin A\leqslant2\riff\frac{2-\cos A}{\sin A}\geqslant\sqrt3.\]

其妙

新高考数学解题之路研讨群（群号60519007）内的一个网友的解答：\begin{aligned} & S=\frac{\sin A}{\sin B \sin C}+\frac{1}{\tan A}=\frac{2 \sin A}{\cos (B-C)-\cos (B+C)}+\frac{1}{\tan A} \\ & \geqslant \frac{2 \sin A}{1+\cos A}+\frac{1}{\tan A}=2 \tan \frac{A}{2}+\frac{1-\tan ^2 \frac{A}{2}}{2 \tan \frac{A}{2}}=\frac{3}{2} \tan \frac{A}{2}+\frac{1}{2 \tan \frac{A}{2}} \geqslant \sqrt{3} \\ & B=C \cdot \frac{A}{2}=\frac{\pi}{6}\end{aligned}

kuing

其妙 发表于 2025-4-19 15:20
新高考数学解题之路研讨群（群号60519007）内的一个网友的解答：

噢，用半角公式，更简洁一些

PS、看群昵称及排版风格，似乎是 hnsredfox_007_（怎么没帖子？
——哦，还有另一个号：007，没错，在这帖楼上还确认过

其妙

\begin{aligned} & \frac{\sin A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\sin ^2 A+\sin B \sin C \cos A}{\sin A \sin B \sin C}=\frac{a^2+b c \cos A}{b c \sin A} \\ & =\frac{b^2+c^2+a^2}{2 b c \sin A}=\frac{b^2+c^2+b^2+c^2-2 b c \cos A}{2 b c \sin A} \geq \frac{4 b c-2 b c \cos A}{2 b c \sin A} \\ & =\frac{2-\cos A}{\sin A} \geq \sqrt{3}\end{aligned}

力工

是这个？$a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt{3}S$.

Aluminiumor

补充个外森比克不等式的维基链接

kuing

3# 被 @hbghlyj 编辑后，作者的信息没了 4# 的回复就变得无理头

走走看看

外森比克不等式是这样来做本题的。
\begin{aligned}
& \frac{a^2}{a b \sin C}+\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{a^2}{b c \sin A}+\frac{\cos A}{\sin A} \\
& =\frac{1}{\sin A}\left(\frac{a^2}{b c}+\cos A\right)=\frac{1}{\sin A}\left(\frac{a^2}{b c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2b c}\right) \\
& =\frac{a^2+b^2+c^2}{2 b c \sin A} \geqslant \frac{4 \sqrt{3} S}{4S}=\sqrt{3}
\end{aligned}

kuing

力工 点评
这样变是不是复杂了？分母直接变成面积

是的，直接变面积显然更简洁一些
\begin{align*}
\frac a{b\sin C}+\frac1{\tan A}&=\frac{a^2}{ab\sin C}+\frac{2bc\cos A}{2bc\sin A}\\
&=\frac{a^2}{2S}+\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\\
&=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\geqslant\sqrt3.
\end{align*}