三角函数最值

力工

题不题难题，但简短让人人兴趣。看看并学学各位大佬们的高招，特别觉得有点几何色彩。
已知$\triangle ABC$,求$cosA(3sinB+4sinC)$的最小值。

kuing

你的代码 $cosA(3sinB+4sinC)$ 效果：$cosA(3sinB+4sinC)$
应写为 $\cos A(3\sin B+4\sin C)$ 效果：$\cos A(3\sin B+4\sin C)$

显然取最小值时 `A` 必为钝角，设 `\cos A=-t`, `0<t<1`，则
\begin{align*}
\text{原式}&=-t\bigl(3\sin(A+C)+4\sin C\bigr)\\
&=-t\bigl(3\sin A\cos C+(3\cos A+4)\sin C\bigr)\\
&=-t\sqrt{(3\sin A)^2+(3\cos A+4)^2}\sin(C+\varphi)\\
&=-t\sqrt{25-24t}\sin(C+\varphi)\\
&\geqslant-t\sqrt{25-24t}\\
&=-\frac1{12}\sqrt{12t\cdot12t\cdot(25-24t)}\\
&\geqslant-\frac1{12}\sqrt{\left(\frac{12t+12t+25-24t}3\right)^3}\\
&=-\frac{125}{36\sqrt3},
\end{align*}
取等略。

snowblink

\[ 3\sin B+4\sin C = 3\sin B+4\sin \left ( A+B \right ) \]
\[ =\left ( 4\cos A+3 \right ) \sin B+4\sin A\cos B \]
\[ \leqslant \sqrt{\left [ \left ( 4\cos A+3 \right ) ^2+\left ( 4\sin A \right ) ^2 \right ]\cdot  \left ( \sin^2B +\cos^2B  \right )    } \]
\[ =\sqrt{24\cos A+25}   \]

snowblink

$3\sin B+4\sin C\leqslant \left | PQ \right | $