|
|
kuing
发表于 2024-5-16 01:41
恰好今天中午就撸过类似题，见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12291&page=1#pid59862（3# 的末尾）
这里照搬一次好了，首先由积化和差有
\[\cos a\cos b\cos(a-b)=\frac{1+\cos2a+\cos2b+\cos(2a-2b)}4,\]
所以条件等价于
\[\cos2a+\cos2b+\cos(2a-2b)=0,\]
令 `t=\cos(a-b)`，则上式化为
\[2t\cos(a+b)+2t^2-1=0,\]
由此可得
\[(2t^2-1)^2\leqslant4t^2\riff1-\frac{\sqrt3}2\leqslant t^2\leqslant1,\]
那么对所求式有
\begin{align*}
\cos^2a+\cos^2b&=1+\frac{\cos2a+\cos2b}2\\
&=1-\frac{\cos(2a-2b)}2\\
&=\frac32-t^2\in\left[\frac12,\frac{1+\sqrt3}2\right].
\end{align*} |
|
