前些天在微信撸的解幂指方程忘了记录：`x^{(x-1)^2}=2x+1`

kuing

题目：已知正数 `x` 满足 `x^{(x-1)^2}=2x+1`，求 `x`。

解（于 6-28）：
由 `x^{(x-1)^2}=2x+1>1` 可知 `x>1`，注意到
\[x^{(x-1)^2}=2x+1\iff x^2\cdot x^{x^2}=(2x+1)\cdot x^{2x+1},\]
设 `f(y)=y\cdot x^y`（`y>0`），求导得 `f'(y)=x^y(1+y\ln x)>0`，所以
\[f(x^2)=f(2x+1)\iff x^2=2x+1,\]
解得 `x=1+\sqrt2`。