设$a>b>1$，证明$a^{b^a}>b^{a^b}$

天音

如题

kuing

原不等式等价于
\[\frac{\ln a}{\ln b}>\frac{a^b}{b^a}.\]

若 $b^a\geqslant a^b$，则
\[\frac{\ln a}{\ln b}>1\geqslant \frac{a^b}{b^a};\]

若 $b^a<a^b$，对其取对数得
\[\frac{\ln a}{\ln b}>\frac ab,\]
故只需证
\[\frac ab>\frac{a^b}{b^a},\]
令 $a=1+x$, $b=1+y$, $x>y>0$，代入上式可整理为
\[(1+x)^{1/x}<(1+y)^{1/y},\]
熟知 $(1+x)^{1/x}$ 递减，故上式成立，即得证。

realnumber

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    鼓掌....

天音

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厉害！

青青子衿

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蒲和平《大学生数学竞赛教程》电子工业出版社
P173  综合题4 第8题

kuing

回复 5# 青青子衿

有参考答案吗？

其妙

kuing

回复 7# 其妙

噢，原来下限还能小到 0，多谢提供