请教 a^b+b^a>1

25717246

已知0<a<1,0<b<1,求证a^b+b^a>1

kuing

提示：证 a^b>a/(a+b)

25717246

回复 2# kuing
太妙了，请教郭版您是如何想到的

kuing

回复 3# 25717246

不是我想的，十几年前我撸这题撸不出的时候，别人也是这样提示我的。

isee

回复 4# kuing


传承，哈哈哈哈哈哈，我是路过来打酱油的~

isee

回复  kuing


传承，哈哈哈哈哈哈，我是路过来打酱油的~
isee 发表于 2021-3-8 19:56

叩，我竟然明白了——按2#会证主楼，至于2#怎么证——打酱油，先

其妙

叩，我竟然明白了——按2#会证主楼，至于2#怎么证——打酱油，先
isee 发表于 2021-3-8 19:58

给出一种不同的证法：由伯努利不等式知，$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{b}=\left(1+\dfrac{1-a}{a}\right)^{b}<1+\dfrac{1-a}{a} \cdot b=\dfrac{a+b-a b}{a}$，
即$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{b}<\dfrac{a+b-a b}{a}$，从而，$a^{b}>\dfrac{a}{a+b-a b}$，同理，$b^{a}>\dfrac{b}{a+b-ab}$，
所以，$a^{b}+b^{a}>\dfrac{a}{a+b-ab}+\dfrac{b}{a+b-ab}=1+\dfrac{ab}{a+b-ab}>1$，证毕。

isee

提示：证 a^b>a/(a+b)
kuing 发表于 2021-3-8 16:48

这个不等式 a^b>a/(a+b) ，是不是只要是两正数，都成立？(偷个懒，不想推导，7#多了一项，还涉及两数积，故有此一问）

hbghlyj

isee 发表于 2021-3-18 16:11
这个不等式 a^b>a/(a+b) ，是不是只要是两正数，都成立？(偷个懒，不想推导，7#多了一项，还涉及两数积 ...

$a = 0.1, b = 1.1,$
$$a^b = 0.1^{1.1}<\frac{a}{a+b}= \frac1{12}$$

hbghlyj

其妙 发表于 2021-3-8 15:24
给出一种不同的证法：由伯努利不等式知，$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{b}=\left(1+\dfrac{1-a}{a}\right)^{b}<1+\dfrac{1-a}{a} \cdot b=\dfrac{a+b-a b}{a}$，

类似的方法用于 证明(x^y+y^x)(1/x+1/y)≥4

---

相关帖子forum.php?mod=viewthread&tid=8252
$$\frac{x^y+y^x}{2}\geq\frac{2xy}{x+y}$$
math.stackexchange.com/questions/4269107
math.stackexchange.com/questions/4268111