$\frac{x_1x_2\cdots x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)\cdots(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)}$

Tesla35

设$a,b$是正常数,$x_1,x_2,\cdots,x_n$是正实数,$n\geqslant2$是正整数，求
$\frac{x_1x_2\cdots x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)\cdots(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)}$
的最大值。

kuing

记 `N=n+1`，由 Carlson 不等式有
\begin{align*}
&(a+x_1)(x_1+x_2)\cdots(x_{n-1}+x_n)(x_n+b)\\
\geqslant{}&\left(\sqrt[N]{ax_1\cdots x_{n-1}x_n}+\sqrt[N]{x_1x_2\cdots x_nb}\right)^N\\
={}&x_1x_2\cdots x_n\left(\sqrt[N]a+\sqrt[N]b\right)^N,
\end{align*}
应该能取等吧😁

Aluminiumor

kuing 发表于 2025-5-25 13:47
应该能取等吧😁

取等就是括号内的东西比例相同嘛，显然能取等