运用不等式如何求解？

hcgzsxm

已知 $x>0, y>0$，且 $x+y=1$，则 $\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}$ 的最小值为
运用不等式如何求解？

kuing

你可以百度一下“权方和不等式”或者“Carlson不等式”或者“Holder不等式”

其妙

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solution  see  here（见文末部分，类题演练2）：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vdqo.html

hbghlyj

权方和不等式为：对于正实数 $a_i$ 和 $b_i$，正整数 $m$，有：
\[
\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \geq \frac{\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^{m+1}}{\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^m}
\]
取 $m=2$，应用权方和不等式：
\[
\frac{1^3}{x^2} + \frac{2^3}{y^2} \geq \frac{(1 + 2)^3}{(x + y)^2}= 27
\]
等号成立的条件是 $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$，即 $\frac{1}{x} = \frac{2}{y}$。结合 $x + y = 1$，解得 $x = \frac{1}{3}$，$y = \frac{2}{3}$。

isee

hcgzsxm 发表于 2017-10-8 18:04
已知 $x>0, y>0$，且 $x+y=1$，则 $\frac{1}{x^2}+\frac{8}{y^2}$ 的最小值为
运用不等式如何求解？ ...

Solution 1
由均值不等式
\begin{align*}
\sqrt{\frac{\frac1{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{4}{y^2}}3}&\geqslant\frac{3}{x+\frac y2+\frac y2}\\[1ex]
\Rightarrow \frac1{x^2}+\frac8{y^2}&\geqslant 27.
\end{align*}


Solution 2
记 $\frac1{x^2}+\frac8{y^2}=s^3$，于是 $\frac1{x^2s^3}+\frac8{y^2s^3}=1$，则由均值不等式，有
\begin{align*}
\frac 1{x^2s^3}+x+x&\geqslant 3\cdot \frac1{s}\\
\frac8{y^2s^3}+y+y&\geqslant 3\cdot \frac{2}{s}
\end{align*}
两次相加，整理即得
\begin{gather*}
1+1+1\geqslant 3\cdot \frac 3s\\
\Rightarrow \frac1{x^2}+\frac8{y^2}=s^3\geqslant 27.
\end{gather*}

isee

hbghlyj 发表于 2025-3-22 23:41
权方和不等式为：对于正实数 $a_i$ 和 $b_i$，正整数 $m$，有：
\[
\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m}  ...

原来是七八年前的帖子