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源自知乎提问.
大家都给的很高级，不过，却没有明确的摆出级数 \[\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}6.\] 即自然数的倒数平方和为 π^2/6，初见，惊掉下巴 .
结果习以为常的，如 \[\left(\mathrm e^x\right)'=\mathrm e^x,\,\int\frac1x\,\mathrm dx=\ln |x|+C.\] 这也能算的，如 \[\ln(-1)=\ln|-1|+\mathrm i\big(\mathrm {arg} (-1)+2k\pi\big)=(2k+1)\pi \mathrm i.\] 其中 $k\in\mathbb Z$ ，其值一对多，取 $k=0$ 就有 $\ln(-1)=\pi \mathrm i$ ，这便是多数软件的默认输出的结果.
远离分析.
再如中学时代的一元二次方程求根公式 \[\Large x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\] 形式上加减乘除乘方开方一应俱全——这也许就是初学时感觉难的原因吧.
还有计算过程好玩的，如 \begin{align*}
\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\sin^2x}}}&= \cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{\cos^2x}}}\\
&=\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{1-\sec^2x}}\\
&=\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{-\tan^2x}}\\
&=\cfrac{1}{1+\cot^2x}\\
&=\cfrac{1}{\csc^2x}\\
&=\sin^2x.
\end{align*} 六个三角函数粉墨登场，轮番上阵，最后又回到 sin^2 x ，拍案叫绝.
转到数上来.
Fibonacci 数列：$F_1=F_2=1$，$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, 其通项为\[F_n=\frac{\big(\frac{1+\sqrt5}2\big)^n-\big(\frac{1-\sqrt5}2\big)^n}{\sqrt5}.\]
公式中含 $\sqrt5$ ，但取 n 为整数时，结果却正整数，且 \[\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\frac{\sqrt5+1}2\approx 1.618.\] 又如看似错误的计算却是合理的 \[\frac{2024^4+3^3}{2024^3+2021^3}=\frac{2024+3}{2024+2021},\,\frac{\lg\frac{64}{27}}{\lg\frac{256}{81}}=\frac{\frac{64}{27}}{\frac{256}{81}},\] 再如好似胡抄一气 \[\left(\frac19\right)^2+\frac89=\frac19+\left(\frac89\right)^2,\\[1em]
\sec^2 2024\csc^2 2024=\sec^2 2024+\csc^2 2024,\]
很晚了，抄个知乎上的不久前的回答：幻方，我认为绝妙
幻方
这是三阶幻方的性质：\[438^2+951^2+276^2=\color{blue}{834^2+159^2+672^2},\,\cdots\]即横（竖）向（包括斜，按行列式展开看）数平方和是相等的，右边蓝色的（一组数）怎么看出来的呢？三阶幻方是全对称的，从纸的背面看横向数即可.
睡前几何不能少，也是欧拉的 \[\Large V+F-E=2.\] 由此可知正多面体有且只有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体.
（晚安） |
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