求证 $\lim_\limits{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\right)^n=\mathrm e$

isee

源自知乎提问


题：求证 $\lim_\limits{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\right)^n=\mathrm e$ .

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给个朴素的处理方式.

依重要极限

\begin{equation*}
\left(1+\frac1n+\frac1{n^2}\right)^n>\left(1+\frac1n\right)^n\to\mathrm e\,(n\to \infty).
\end{equation*} 另一方面，当 $n>1$ 时 \Large \begin{align*}
\left(1+\frac1n+\frac1{n^2}\right)^n&=\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^n\\[1ex]
&=\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}+\frac{n}{n+1}}\\[1ex]
&<\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}+1},
\end{align*} 由海涅定理（即归结原则）知 \begin{align*}
\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}+1}&=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}\cdot \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)\\[1ex]
&=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1}}\cdot 1\\[1ex]
&=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^{x},\,x_n=\frac{n^2}{n+1}\\[1ex]
&=\mathrm e.
\end{align*} 由数列极限的迫敛性（即夹逼准则）有 $\lim_\limits{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\right)^n=\mathrm e$ .

kuing

九年前你也问过😁：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3386#pid13863

isee

kuing 发表于 2024-10-4 13:43
九年前你也问过😁：
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3386#pid13863

哎呀哟嗬，还是一模一样的

uk702

$1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} = 1+\frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})$

这意味着，对于任意 a = 1.00...1 > 1，对于充分大的 n ，均有 $1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} < 1 + \frac{a}{n}$

∴ $\lim_\limits{n\to \infty }(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2})^n < \lim_\limits{n\to \infty }(1+\dfrac{a}{n})^n = e^a$

∴ $\lim_\limits{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\right)^n = e$

TSC999

证明下面的极限也是 e：

kuing

TSC999 发表于 2024-10-30 19:06
证明下面的极限也是 e：

一样的，一般地
\[\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac1n+o\left(\frac1n\right) \right)^n
=e.\]
证明：
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac1n+o\left(\frac1n\right) \right)^n
&=\lim_{x\to0}\bigl(1+x+o(x)\bigr)^{1/x}\\
&=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(1+x+o(x)\bigr)}x\right)\\
&=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{x+o(x)}x\right)\\
&=\exp(1)=e.
\end{align*}

kuing

才发现楼主标题中的代码里的

1. \lim_\limits{n\to\infty}

复制代码

这写法是有问题的，在真 latex 里会报错，但 mathjax 又“智能容错”了。

isee

kuing 发表于 2024-10-31 18:41
才发现楼主标题中的代码里的

这写法是有问题的，在真 latex 里会报错，但 mathjax 又“智能容错”了。

\lim\limits_{n\to\infty} 这样吧，应该