|
|
源自知乎提问
题：求证： $\int_0^\frac\pi2\frac{\cos x}{1+x^2}\,\mathrm dx\geqslant \int_0^\frac\pi2\frac{\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx$.
大家的方法让我眼花缭乱（凑一个热闹）朴素的方式(其实已经有答主写了差不多的)，利用
\[\color{blue}{\int_a^bf(x)\,\mathrm dx}=\int_{b-a}^0f(b-t)\,\mathrm d(b-t)=\color{blue}{\int_0^{b-a}f(b-x)\,\mathrm dx}.\] 则
\begin{gather*}
\int_0^\frac\pi2\frac{\cos x}{1+x^2}\,\mathrm dx\geqslant \int_0^\frac\pi2\frac{\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx\\[1em]
\iff \int_0^\frac\pi2\frac{\cos x-\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx\geqslant 0\\[1em]
\iff \int_0^\frac\pi4\frac{\cos x-\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx+ \color{blue}{\int_\frac\pi4^\frac\pi2\frac{\cos x-\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx}\geqslant 0\\[1em]
\iff \int_0^\frac\pi4\frac{\cos x-\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx+ \color{blue}{\int_0^\frac\pi4\frac{\sin x-\cos x}{1+(\frac\pi2-x)^2}\,\mathrm dx}\geqslant 0\\[1em]
\iff \int_0^\frac\pi4(\cos x-\sin x)\Big(\frac1{1+x^2}-\frac1{1+(x-\frac\pi2)^2}\Big)\,\mathrm dx\tag{01}
\end{gather*} 函数 \[y=(\cos x-\sin x)\Big(\frac1{1+x^2}-\frac1{1+(x-\frac\pi2)^2}\Big),x\in\big(0,\frac\pi4\big)\] 是两个正的单调递减函数的乘积，则依然是单调递减的，于是 \[y_{\min}\geqslant y\big(\frac\pi4\big)=0,\] 这说明 $(01)$ 是成立的，得证.
|
|
