$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x+1)}{x^{2}+1} d x$

hbghlyj

Putnam 2005 A5. $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln (x+1)}{x^{2}+1} d x$
设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (a x+1)}{x^{2}+1} d x$
这意味着我们的原始积分是 $I(1)$ 并且 $I(0) = 0$。
\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial a} & =\int_{0}^{1} \frac{x}{(a x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x \\ & =\frac{1}{a^{2}+1} \int_{0}^{1}\left(\frac{a}{x^{2}+1}+\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{a}{a x+1}\right) d x \\ & =\frac{\pi a+2 \ln 2-4 \ln (a+1)}{4\left(a^{2}+1\right)}\end{aligned}由于 $I(0) = 0$，\begin{aligned} I(1) & =\int_{0}^{1}\left(\frac{\pi a+2 \ln 2-4 \ln (a+1)}{4\left(a^{2}+1\right)}\right) d a \\ & =\int_{0}^{1} \frac{\pi a+2 \ln 2}{4\left(a^{2}+1\right)} d a-\int_{0}^{1} \frac{\ln (a+1)}{\left(a^{2}+1\right)} d a \\ & =\int_{0}^{1} \frac{\pi a+2 \ln 2}{4\left(a^{2}+1\right)} d a-I(1) \\ \therefore I(1) & =\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{\pi a+2 \ln 2}{4\left(a^{2}+1\right)} d a\end{aligned}这是一个有理函数的积分，可以立即计算出来。结果是：$I(1)={\pi\ln2\over8}$.

hbghlyj

没有写标签，结果仍然显示两个标签。

青青子衿

除了变限积分求导还有很多方法，如变量替换法
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7821

hbghlyj

点击链接发现没有"标签 integral"相关帖子
我不想添加这个标签，它是不小心添加的，@kuing 能删除吗

isee

哎呀，整了个经典积分啊，终于有看得懂的了，哈哈哈

kuing

hbghlyj 发表于 2023-4-12 11:22
点击链接发现没有"标签 integral"相关帖子
我不想添加这个标签，它是不小心添加的，@kuing 能删除吗{:shuai ...

我已经在后台把 Integral 这个标签给删除了，但 1# 的那串还在

isee

这样的话，不如直接重开一帖，后回收这帖