定积分构造分式不等式

O-17

https://www.zhihu.com/question/475498806
已知 $a,b,c>0$ , 证明:
$$
\sum\frac1{4a}+\sum\frac1{a+b}\geqslant\sum\frac3{3a+b}
$$

LasterCircle 的解答如下:

在 Vasile 不等式
$$
(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant3(x^3y+y^3z+z^3x)
$$
中令 $x=t^a,~y=t^b, z=t^c$ , 则
$$
(t^{2a}+t^{2b}+t^{2c})^2\geqslant3(t^{3a+b}+t^{3b+c}+t^{3c+a})
$$
两边对 $t$ 在 $(0,1)$ 上定积分得
$$
\int_0^1\frac{(t^{2a}+t^{2b}+t^{2c})^2}{t}{\rm d}t\geqslant3\int_0^1\frac{t^{3a+b}+t^{3b+c}+t^{3c+a}}{t}{\rm d}t
$$
即
$$
\sum\frac1{4a}+\sum\frac1{a+b}\geqslant\sum\frac3{3a+b}
$$

前段时间混导数圈子的时候, 经常会用到这样对不等式两端积分来作加强的手法, 在三元齐次不等式这里居然又遇到了, 感觉相当奇妙. (尤其是当我配了好久的方之后)

Czhang271828

该变换说明二元均值不等式可以等价地转化成二元调和不等式. 对分数阶分母情形可参考此贴