求限制条件的三元分式的最值

lemondian

已知$a,b,c\in(0,\sqrt{3})$，且$a^4+b^4+c^4\geqslant 3$，求$\dfrac{a^3}{a^2-3}+\dfrac{b^3}{b^2-3}+\dfrac{c^3}{c^2-3}$的最大值。

Aluminiumor

$$x\in(0,\sqrt{3}),-\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{x^2-3}=\frac{x^3(x-1)^2(x+2)}{2(3-x^2)}\geq0$$
$$\sum\frac{a^3}{a^2-3}\leq\sum-\frac{a^4}{2}\leq-\frac32$$
取等略。

lemondian

Aluminiumor 发表于 2024-10-24 11:53
$$x\in(0,\sqrt{3}),-\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{x^2-3}=\frac{x^3(x-1)^2(x+2)}{2(3-x^2)}\geq0$$
$$\sum\f ...

是不是可以推广一下子？
已知$a,b,c,M,t>0$，且$x_1^a+x_2^a+\cdots+x_n^a\geqslant M
$，求$\frac{x_1^b}{x_1^c-t}+\frac{x_2^b}{x_2^c-t}+\cdots+\frac{x_n^b}{x_n^c-t}$的最大值。($a,b,c,M,t$有什么限制条件？)

kuing

上次 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12696 这帖写的，楼主是完全没学会吗？

lemondian

kuing 发表于 2024-10-24 16:34
上次 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12696 这帖写的，楼主是完全没学会 ...

我也是从那帖来学的，主要是这里的$t$的范围如何确定呢？