按此思路如何继续做

极光永明

设$a,b,c>0$，证明：
$$
\sqrt{abc}\left(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\right)+\left(a+b+c\right)^2\geqslant4\sqrt{3abc\left(a+b+c\right)}
$$

现若按以下思路分析，只需证明$\sqrt{abc}\left(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\right)+\left(a+b+c\right)^2\geqslant4\left(ab+bc+ca\right)$，有何方法？

kuing

升次去根号，变成
\[abc(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),\]
熟知因式分解
\begin{align*}
4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^2+b^2+c^2)^2&=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
&=(a+b+c)\prod(a+b-c),
\end{align*}
所以变成
\[abc\geqslant\prod(a+b-c),\]
这也是熟知的。

极光永明

kuing 发表于 2023-6-16 18:22
升次去根号，变成
\[abc(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),\]
熟知因式分解

十分感谢😀