三元不等式

创之谜

$已知x^2+y^2+z^2=3(x,y,z\ge0)$
$求证 \sum\sqrt{3-(\dfrac{x+y}{2} )^2}\ge3\sqrt{2}$

创之谜

怎么做？

星奔川骛

考虑琴生
f=sqrt（3-x^2）上凸

创之谜

星奔川骛 发表于 2025-3-10 21:59
考虑琴生
f=sqrt（3-x^2）上凸

大哥，Jensen反号了吧？

星奔川骛

创之谜 发表于 2025-3-10 22:56
大哥，Jensen反号了吧？

确实，今天看了一下。
平方后柯西秒了

创之谜

星奔川骛 发表于 2025-3-11 21:16
确实，今天看了一下。
平方后柯西秒了

佬可以再详细说说吗？

星奔川骛

创之谜 发表于 2025-3-12 18:41
佬可以再详细说说吗？

设 $x, y, z \geq 0$ 满足 $x^2 + y^2 + z^2 = 3$。求证：$\sum \sqrt{3 - \left(\frac{x + y}{2}\right)^2} \geq 3\sqrt{2}$

证明：(1)式两边平方，只需证明 $9 - \sum \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 + 2 \sum \sqrt{3 - \left(\frac{x + y}{2}\right)^2} \sqrt{3 - \left(\frac{x + z}{2}\right)^2} \geq 18$，整理得

$$
\sum \sqrt{3 - \left(\frac{x + y}{2}\right)^2} \sqrt{3 - \left(\frac{x + z}{2}\right)^2} \geq \frac{21}{4} + \frac{1}{4} \sum xy,
$$

由柯西不等式，

$$
\sqrt{3 - \left(\frac{x + y}{2}\right)^2} \sqrt{3 - \left(\frac{x + z}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}(x^2 + y^2 + z^2) + z^2 - \frac{xy}{2}} \sqrt{\frac{3}{4}(x^2 + z^2) + y^2 - \frac{xz}{2}}
$$

$$
= \sqrt{\left(\frac{3}{4}(x - \frac{y}{3})^2 + \frac{2}{3}(y^2 + z^2) + \frac{z^2}{3}\right)\left(\frac{3}{4}(x - \frac{z}{3})^2 + \frac{2}{3}(y^2 + z^2) + \frac{y^2}{3}\right)}
$$

$$
\geq \frac{3}{4} \left|x - \frac{y}{3}\right| \left|x - \frac{z}{3}\right| + \frac{2}{3}(y^2 + z^2) + \frac{yz}{3},
$$

所以 (2) 式左边

$$
\geq \sum \left[\frac{3}{4} x^2 - \frac{xy + xz}{4} + \frac{yz}{12} + \frac{2}{3}(y^2 + z^2) + \frac{yz}{3}\right] = \frac{25}{4} - \frac{1}{12} \sum xy \geq (2) 式右边。
$$

所以 (2)，(1) 式成立。

星奔川骛

星奔川骛 发表于 2025-3-13 21:10
设 $x, y, z \geq 0$ 满足 $x^2 + y^2 + z^2 = 3$。求证：$\sum \sqrt{3 - \left(\frac{x + y}{2}\right) ...

其中：
（1）指 $\sum \sqrt{3 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \geq 3\sqrt{2}$
（2）指$\sum \sqrt{3 - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2} \sqrt{3 - \left(\frac{x+z}{2}\right)^2} \geq \frac{21}{4} + \frac{1}{4} \sum xy$

（突然发现忘标了）