三元不等式

创之谜

正实数\(a,b,c\)满足\(abc=1\)求证:\[\sum\dfrac{1}{1+a+b}\le1\]

kuing

令 `a=x^2/yz` 等，有
\[\frac1{1+a+b}=\frac1{1+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}}=\frac{xyz}{xyz+x^3+y^3}\leqslant\frac{xyz}{xyz+x^2y+xy^2}=\frac z{z+x+y}.\]

创之谜

kuing 发表于 2025-3-17 16:31
令 `a=x^2/yz` 等，有
\[\frac1{1+a+b}=\frac1{1+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}}=\frac{xyz}{xyz+x^3+y^3} ...

若考虑证明\(\sum\dfrac{a+b}{1+a+b}\ge2\)用CS怎证？

kuing

创之谜 发表于 2025-3-17 16:35
若考虑证明\(\sum\dfrac{a+b}{1+a+b}\ge2\)用CS怎证？

也行
\begin{align*}
\sum\frac{a+b}{1+a+b}&\geqslant\frac{\bigl(\sum\sqrt{a+b}\bigr)^2}{3+2(a+b+c)}\\
&=\frac{2(a+b+c)+2\sum\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}{3+2(a+b+c)}\\
&\geqslant\frac{2(a+b+c)+2\sum\bigl(a+\sqrt{bc}\bigr)}{3+2(a+b+c)}\\
&=\frac{4(a+b+c)+2\sum\sqrt{bc}}{3+2(a+b+c)}\\
&\geqslant\frac{4(a+b+c)+6}{3+2(a+b+c)}\\
&=2.
\end{align*}