求三个量的积的最值

力工

请教，这是哪里的竞赛题?大佬们有好的解法指教一下.
已知正数$a,b,c$的和为$4$,且$a,b,c$中的任意两个数组成的有序数对$(x,y)$都是$2x^2-5xy+2y^2\leqslant 0$的一组解，求$abc$的最小值。
由于可以求$ab+bc+ca$的范围，我以为是可以从三次函数的角度解的，失败了。

kuing

$2x^2-5xy+4y^2\leqslant 0$？这 `\Delta` 明显负啊，抄错了吧？

力工

火眼金睛！已改正。应该是$2x^2-5xy+2y^2\leqslant 0$

kuing

力工 发表于 2023-5-23 22:42
火眼金睛！已改正。应该是$2x^2-5xy+2y^2\leqslant 0$

那就因式分解呗，就是 `(x-2y)(2x-y)\leqslant0`，因此有 `a/2\leqslant b\leqslant2a` 等三式。

不妨设 `a\leqslant b\leqslant c`，则有
\[\frac b2+b+b\leqslant a+b+c\leqslant b+b+2b,\]
得到
\[1\leqslant b\leqslant\frac85,\]
再由条件有
\[5abc\geqslant2b(a^2+c^2)=2b(a+c)^2-4abc,\]
即
\[9abc\geqslant2b(4-b)^2=f(b),\]
求导易证 `f(b)` 在 `[1,8/5]` 内先 `\nearrow` 后 `\searrow`，那么
\[f(b)\geqslant\min\left\{f(1),f\left(\frac85\right)\right\}=f(1)=18,\]
所以 `abc\geqslant2`，当 `a=b=1`, `c=2` 时取等。