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isee
Posted at 2024-7-2 08:58:26
Last edited by isee at 2024-7-2 10:03:00原来是 Schur 不等式 中令 r=1，展开凑 a+b+c，ab+bc+ca，abc
将 2# 细化一下，收题为主，源自知乎提问.
题：已知正数 $a、b、c$ 满足 $abc=1$ ，求证： $\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac{36}{5(a+b+c)}\geqslant\frac{27}{5}.$
前置知识
Schur 不等式：若 $x,y,z\geqslant 0$ ， $r\in\mathbb R$ ，则 \[x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\geqslant 0.\] 当且仅当 $x=y=z$ 或两者相等，另一个为零时取得等号.
简证：待证不等式具有完全对称性，不妨设 $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ .
当 $r\geqslant 0$ 时 \begin{align*}
{\rm{LHS}}&\geqslant x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+0\\[1ex]
&\geqslant x^r(x-y)({\color{blue}{y}}-z)+y^r(y-z)(y-x)\\[1ex]
&=(x-y)(y-z)(x^r-y^r)\\[1ex]
&\geqslant 0={\rm{RHS}}.
\end{align*}
当 $r<0$ 时 \begin{align*}
{\rm{LHS}}&\geqslant 0+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\\[1ex]
&\geqslant y^r(y-z)({\color{blue}{z}}-x)+z^r(z-x)(z-y)\\[1ex]
&=(y-z)(z-x)(y^r-z^r)\\[1ex]
&\geqslant 0={\rm{RHS}}.
\end{align*} 证毕.
回到原命题，作倒置换 $a\mapsto\frac 1a,\ b\mapsto\frac 1b,\ c\mapsto\frac 1c $ 得到 $\frac1{abc}=1$ 待证不等式转化为\begin{gather*}
\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac{36}{5(a+b+c)}\geqslant\frac{27}{5}\\[1ex]
\iff a+b+c+\frac{36}{5\left(ab+bc+ca\right)}\geqslant \frac{27}5.
\end{gather*} 在 Schur 不等式中令 r=1，展开整理得到 \begin{gather*}
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geqslant 0\\[1ex]
\iff (a+b+c)^3-4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc\geqslant 0,
\end{gather*} 又已知 $abc=1$ ，则设 $a+b+c=x\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3$ ，故而 \[\frac1{ab+bc+ca}\geqslant \frac{4x}{x^3+9},\] 于是 \begin{align*}
{\rm{LHS}}&\geqslant x+\frac{144x}{5(x^3+9)}:=f(x),
\end{align*} 对 $f(x)$ 求导可知其单调递增， $x\geqslant 3$ ，从而 \[{\rm{LHS}}\geqslant f(x)\geqslant f(3)=\frac{27}5={\rm{RHS}}.\] |
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kuing
Posted at 2024-7-1 22:09:18
