柯西不等式放缩松紧的问题

O-17

比如对于这个不等式问题
对于正实数 $a,b,c$ , 求证:
$$
a\sqrt{b^2+8c^2}+b\sqrt{c^2+8a^2}+c\sqrt{a^2+8b^2}\leqslant(a+b+c)^2
$$
显见直接使用柯西不等式会放过头
$$
\text{LHS}^2\leqslant\left(\sum a^2\right)\left[\sum(b^2+8c^2)\right]=9\left(\sum a^2\right)^2\geqslant\text{RHS}^2
$$
稍加处理再使用柯西不等式也不行
$$
\text{LHS}^2\leqslant\left(\sum a\right)\left[\sum a(b^2+8c^2)\right]\nleqslant\text{RHS}^2
$$
AoPS 的 arqady 给出了如下放缩
$$
\text{LHS}^2\leqslant\sum\frac{a(b^2+8c^2)}{b+2c}\sum a(b+2c)\leqslant\text{RHS}^2
$$
我编程验证了一下, 发现配的这个一次多项式 $(b+\lambda c)$ 当 $\lambda$ 取 $2$ 和 $5$ 之间的整数值时都没问题, 而在 $\lambda$ 的边界处似乎会多出一组 $(1,1,0)$ 取等 (下界为 $\lambda\approx1.44$)
请问是如何想到配这个一次多项式的呢? 什么样的柯西不等式才算是更"紧"的?
另外一个例子见这个知乎问题, 也是直接用算-调均值会放缩过头, 然后配了个 $(4c+a+b)$ 就突然足够紧了.

O-17

再给一个例子吧, 顺便顶一下帖...
(来自 "Problem from the book" 例 5.9)
对于正实数 $a,b,c$ , 求证:
$$
\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}+\frac{(b+c)^2}{a^2+bc}+\frac{(c+a)^2}{b^2+ca}\geqslant6
$$
直接柯西是不行的
$$
\left[\sum\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\right]\left[\sum(c^2+ab)\right]\geqslant\left[\sum(a+b)\right]^2
$$
会发现
$$
\left[\sum(a+b)\right]^2\leqslant6~\sum(c^2+ab)
$$
就表明又放过头了, 书上给的方法是考虑柯西不等式
$$
\left[\sum\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\right]\left[\sum(a+b)^2(c^2+ab)\right]\geqslant\left[\sum\left(a+b\right)^2\right]^2
$$
然后证明
$$
\left[\sum\left(a+b\right)^2\right]^2\geqslant6~\sum(a+b)^2(c^2+ab)
$$
这是应该是配了一个 $(a+b)^2$ 上去, 然后很神奇地又变强了...
个人感觉似乎是把分子变强了, 因为第一种放缩完, 左边 $a^2:ab=1:2$ , 而右边是 $1:1$ , 所以左边太弱了. 所以说乘这个是为了让分子变强 (??? . 那为什么偏偏是乘这个呢?

O-17

刚才浅浅配了个方, 其实就 #2 这类分式不等式而言, 除非次数较高, 用柯西不等式放缩其实并不会减少太多计算量, 无非一个 $4$ 次, 一个 $6$ 次. 至于 #1 那种根式不等式那才是真的必须用柯西不等式放缩一次才好证明.
原题的直接配方证明:
$$
\sum\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-6=\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+\sum ab(a+b)^2(a-b)^2}{\prod(c^2+ab)}\geqslant0. \square
$$
放缩后的配方证明:
$$
\left[\sum\left(a+b\right)^2\right]^2-6~\sum(a+b)^2(c^2+ab)=4\sum a^2(a-b)(a-c)+6\sum ab(a-b)^2.~\square
$$

kuing

前两天看这帖只有开头那不等式，隐约在哪见过但没找着，就没回了……
今天你补充的内容，我也没参透。
待定 `(b+\lambda c)` 来配的方式我也试过，就在《撸题集》第一题。
hjj 的《初等不等式的证明方法》P.147~149 里也讲过一些。

kuing

O-17 发表于 2023-3-26 17:35
再给一个例子吧, 顺便顶一下帖...
(来自 "Problem from the book" 例 5.9)
对于正实数 $a,b,c$ , 求证:

>=6 那题我在《撸题集》P.937 题目 6.10.7 里也证过。
也记录了网友 pxchg1200 的柯西放缩（==哦原来与上面一样）