两道三角不等式的猜想

lemondian

下面两个猜想是否成立？
设$\triangle ABC$的三边分别为$a,b,c$，则
（1）$\sum\sqrt{\dfrac{b+c-a}{a}}\geqslant \sum\sqrt{\dfrac{b+c}{2a}}$;
(2)$\sum\sqrt{\dfrac{a+b+c}{3(b+c-a)}}\geqslant \sum\sqrt{\dfrac{b+c}{2a}}$.

kuing

（1）当 (a,b,c)=(2,2,3) 时 LHS<RHS，当 (a,b,c)=(3,3,1) 时 LHS>RHS；

kuing

（2）虽然多根号看着吓人，其实很简单，松得很，令 `a=y+z`, `b=z+x`, `c=x+y`，则 `x`, `y`, `z>0`，不等式等价于
\[\sqrt{\frac{x+y+z}3}\sum\frac1{\sqrt x}\geqslant\sum\sqrt{\frac{2x+y+z}{2(y+z)}},\]
由 CS 及 AG 有
\begin{align*}
\RHS^2&\leqslant\sum\frac{2x+y+z}2\sum\frac1{y+z}\\
&=2\sum x\sum\frac1{y+z}\\
&\leqslant\sum x\sum\frac1{\sqrt{yz}}\\
&\leqslant\frac13\sum x\left(\sum\frac1{\sqrt x}\right)^2\\
&=\LHS^2.
\end{align*}