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kuing
Posted at 2022-4-30 17:36:47
暴~力~证法：齐次化并换元去根号，等价于 `x`, `y`, `z\geqslant0` 证
\[5\left( \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}-\frac12 \right)^2+1\geqslant\left( 5\cdot\frac{\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}}{x^2+y^2+z^2}-\frac32 \right)^2,\]
展开并去分母化简为
\[3(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\geqslant5(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)(xy+yz+zx),\]
两边平方后可配方为
\[8\left( \sum x^2+\sum yz \right)\prod(x-y)^2+14xyz\sum x^3(x-y)(x-z)+6x^2y^2z^2\left( \sum x^2+\sum(y-z)^2 \right)\geqslant0,\]
即得证。
取等条件为 `xyz=(x-y)(y-z)(z-x)=0`。 |
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