求证一个三元不等式

lemondian

已知$x,y,z$为正实数，且满足$xyz=1$。证明：$\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}\geqslant 9$.

战巡

令$x=e^p,y=e^q,z=e^r$，那么有
\[xyz=e^{p+q+r}=1\]
\[p+q+r=0\]
令
\[f(x)=\sqrt{1+8e^x}\]
显然有
\[f''(x)=\frac{4e^x(1+4e^x)}{(1+8e^x)^{\frac{3}{2}}}>0\]
于是按琴生不等式有
\[\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}=f(p)+f(q)+f(r)\ge3f(\frac{p+q+r}{3})=3f(0)=9\]

lemondian

战巡 发表于 2022-5-29 23:24
令$x=e^p,y=e^q,z=e^r$，那么有
\[xyz=e^{p+q+r}=1\]
\

谢谢！
除了琴生，还有其它证法吗？

kuing

lemondian 发表于 2022-5-29 23:44
谢谢！
除了琴生，还有其它证法吗？

琴生可行意味着一堆方法可行，请自已尝试

lemondian

kuing 发表于 2022-5-30 00:07
琴生可行意味着一堆方法可行，请自已尝试

已知$x,y,z,\lambda $为正实数，且满足$xyz=1$。请问下面不等式是否成立：$\sqrt{1+\lambda x}+\sqrt{1+\lambda y}+\sqrt{1+\lambda z}\geqslant 3\sqrt{1+\lambda }$.

色k

lemondian 发表于 2022-5-30 09:07
已知$x,y,z,\lambda $为正实数，且满足$xyz=1$。请问下面不等式是否成立：$\sqrt{1+\lambda x}+\sqrt{1+\ ...

证明你并没有尝试其他证法。
只要大胆放缩，就会发现这题不是一般的简单，（包括这个系数推广）。

lemondian

色k 发表于 2022-5-30 10:10
证明你并没有尝试其他证法。
只要大胆放缩，就会发现这题不是一般的简单，（包括这个系数推广）。 ...

我会用均值不等式来证。
应该还可以用切线来证（我还没证出来）
但5#的$\lambda $除了正数外，还没有基它限制？

另外，本题还有其它方面的推广不？

kuing

lemondian 发表于 2022-5-30 14:22
我会用均值不等式来证。
应该还可以用切线来证（我还没证出来）
但5#的$\lambda $除了正数外，还没有基 ...

能这样均值就不用试切线了，太弱的题没必要浪费时间搞一题多解，没意思。

$\lambda$ 的完全一样均值不就好了么。

推广当然可以，比如更多元，更高次根号什么的，但那也没意思，因为还是可以照样均值，不值一提。
要推广得有价值至少得让常规方法行不通才行，但同时又得避免高次方程，比如如果在各根号前面添加不同的系数，恐怕就没得玩了。

其实可以考虑改条件，这题弱主要是就因为 xyz=1，使得怎么均值都行。
改和为定值还是太简单，不妨试试改成 xy+yz+zx=1 啥的……

kuing

`x,y,z>0,xy+yz+zx=1`，证 `\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}>7`。

lemondian

kuing 发表于 2022-5-30 14:58
能这样均值就不用试切线了，太弱的题没必要浪费时间搞一题多解，没意思。

$\lambda$ 的完全一样均值不就 ...

5#均值如何写？

来几个推广呗，如更高次根号什么的，让我们好好学习（因为太难的搞不来呀）

kuing

lemondian 发表于 2022-5-30 16:53
5#均值如何写？

来几个推广呗，如更高次根号什么的，让我们好好学习（因为太难的搞不来呀） ...

…………直接均值然后 `1+\lambda x\geqslant(1+\lambda)x^{\lambda/(1+\lambda)}` 啊…………

高次根号的一模一样啊…………你能不能动动脑子啊…………

lemondian

已知$a,b,c>0,a+b+c=3$，求证：
（1）$a\sqrt{1+8a}+b\sqrt{1+8b}+c\sqrt{1+8c}\geqslant 9$;
（2）$ab\sqrt{1+8a}+bc\sqrt{1+8b}+ca\sqrt{1+8c}\leqslant  9$

**我是从别处看到的，直接就截个图，
可这不会证了

色k

lemondian 发表于 2022-5-31 08:58

所以说改条件才好。

PS、怎么都不码字了

kuing

lemondian 发表于 2022-5-31 08:58
已知$a,b,c>0,a+b+c=3$，求证：
（1）$a\sqrt{1+8a}+b\sqrt{1+8b}+c\sqrt{1+8c}\geqslant 9$;
（2）$ab\s ...

至少（1）很容易吧
\begin{align*}
\LHS&=\sum\sqrt{a^2+\bigl(\sqrt{8a^3}\bigr)^2}\\
&\geqslant\sqrt{(a+b+c)^2+\bigl(\sqrt{8a^3}+\sqrt{8b^3}+\sqrt{8c^3}\bigr)^2},
\end{align*}
由幂平均知 `a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2}\geqslant3`，即得证。

kuing

lemondian 发表于 2022-5-31 08:58
已知$a,b,c>0,a+b+c=3$，求证：
（1）... ;
（2）$ab\sqrt{1+8a}+bc\sqrt{1+8b}+ca\sqrt{1+8c}\leqslant 9$

第二个也不是难，但是不怎么好玩，由均值
\[\LHS=\frac13\sum ab\sqrt{9\cdot(1+8a)}\leqslant\frac13\sum ab(5+4a),\]
只需证
\[5\sum ab+4\sum a^2b\leqslant27,\]
齐次化即
\[5\sum a\sum ab+12\sum a^2b\leqslant3\left( \sum a \right)^3,\]
不妨设 `c` 最小，令 `a=c+t`, `b=c+u`，代入展开整理为
\[3t^3-8t^2u+4tu^2+3u^3+(5t^2-5tu+5u^2)c\geqslant0,\]
易证 `3t^3-8t^2u+4tu^2+3u^3\geqslant0`，即  得证。

lemondian

kuing 发表于 2022-5-31 13:55
至少（1）很容易吧
\begin{align*}
\LHS&=\sum\sqrt{a^2+\bigl(\sqrt{8a^3}\bigr)^2}\\

这个应该还可以用琴生的

kuing

lemondian 发表于 2022-5-31 16:12
这个应该还可以用琴生的

嗯，所以（1）也是太简单，不好玩。

还是我 9# 提出的有点玩头，试一下？

lemondian

kuing 发表于 2022-5-31 17:12
嗯，所以（1）也是太简单，不好玩。

还是我 9# 提出的有点玩头，试一下？ ...

做不出来，公布答案吧

lemondian

kuing 发表于 2022-5-31 17:12
嗯，所以（1）也是太简单，不好玩。

还是我 9# 提出的有点玩头，试一下？ ...

这个行不？

kuing

lemondian 发表于 2022-6-1 19:22
这个行不？

最后一行为什么是显示的呢？