求证一道三元不等式

lemondian

设$a,b,c$是正实数，$n\inN^*$,证明：$a^2+b^2+c^2\geqslant a\cdot \sqrt[n]{\dfrac{b^n+c^n}{2}}+ b\cdot \sqrt[n]{\dfrac{c^n+a^n}{2} }+ c\cdot \sqrt[n]{\dfrac{a^n+b^n}{2}}$.

kuing

不等式显然不成立。

注意一个简单的极限：`a`, `b>0`，有
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}2}=\max\{a,b\},\]
于是对原不等式来说，不妨设 `a\geqslant b\geqslant c`，则当 `n\to+\infty` 时，不等式变为
\[a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ab+ca,\]
即 `(a-b)^2\geqslant c(a-c)`，这显然不成立。

非要给出原不等式的具体反例，那就取 `a=b=1`, `c=1/2`，让 `n` 足够大，一定能找到反例，用软件画图，看出只要 `n=5` 就够了。

lemondian

回复 2# kuing
看懂了，谢谢！

lemondian

回复 3# lemondian
那么，当$n=4$时，1#的不等式是否成立？
如果成立，如何证明？

lemondian

另外，
以下不等式是否成立？如果成立？如何证明？
设$a,b,c$是正实数，$\dfrac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\dfrac{b(c^2+a^2)}{c+a}+\dfrac{c(a^2+b^2)}{a+b}\leqslant a\sqrt[4]{\dfrac{b^4+c^4}{2}}+b\sqrt[4]{\dfrac{c^4+a^4}{2}}+c\sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4}{2}}$

爪机专用

回复 4# lemondian

n=4软件说成立，我估计证明很困难

lemondian

回复 6# 爪机专用

有人说，如果证到了下面不等式，则$n=4$可证。

若$a,b,c$为正实数，证明：
$a\sqrt{b^2+c^2-bc}+b\sqrt{c^2+a^2-ca}+c\sqrt{a^2+b^2-ab}\leqslant \sqrt{(a+b+c)[a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)-3abc]}$

lemondian

回复 7# lemondian

哦，这个我会了，原来是用柯西。
但$n=4$时，1#还是不会，
5#的那个也不会

爪机专用

回复 7# lemondian

没看出这个和1#n=4有啥关系/emmm...

kuing

哦，应该只是在提示用这种柯西方法。

当 `n=4` 时
\begin{align*}
\RHS&=\sum\sqrt a\sqrt[4]{\frac{a^2(b^4+c^4)}2}\\
&\leqslant\sqrt{(a+b+c)\sum\sqrt{\frac{a^2(b^4+c^4)}2}}\\
&\leqslant\sqrt{(a+b+c)\sqrt{3\sum\frac{a^2(b^4+c^4)}2}},
\end{align*}
所以只需证明
\[\frac32(a+b+c)^2\sum a^2(b^4+c^4)\leqslant(a^2+b^2+c^2)^4,\]
待续……

lemondian

回复 5# lemondian
这个不等式应该不成立：
a趋于0，b,c都趋于1，可验证

kuing

时隔两年，现在来续 10# 😋
\begin{align*}
&(a^2+b^2+c^2)^4-\frac32(a+b+c)^2\sum{a^2}(b^4+c^4)\\
={}&\frac18\sum a^2(a-b)(a-c)\sum\bigl(3a^4+9a^3(b+c)+8b^2c^2+19a^2bc\bigr)\\
&+\frac18\left(\sum a^2-\sum bc\right)^2\sum\bigl(5a^4+4a^3(b+c)+14b^2c^2+12a^2bc\bigr),
\end{align*}
所以 10# 最后那不等式成立，即 `n=4` 得证。