a、b、c＞0，abc=8，求证：$1<\sum\frac{1}{\sqrt{1+a}}<2$

走走看看

a、b、c＞0，abc=8，求证：$1<\sum\frac{1}{\sqrt{1+a}}<2$

kuing

百度搜索“08江西压轴题”

战巡

画图倒是给出些有意思的东西

在$\frac{125}{64}<abc<512$的情况下，都有
\[1<\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}<2\]

色k

战巡 发表于 2022-6-6 11:19
画图倒是给出些有意思的东西

在$\frac{125}{64}

是的，更一般的结论也早已有证明：doc88.com/p-4129029079939.html

走走看看

谢谢大家！

也找到了一个解答：zhuanlan.zhihu.com/p/116490544 。

这个链接中的 $tan^2β+tan^2γ\le 7 $  ，这一行的结论是如何推导出来的，我没有看出来。

走走看看

接楼上：

$7\ge tan^2β+tan^2γ\ge 2tanβtanγ$，则$ cosβcosγ\ge \frac27sinβsinγ $

$\frac{1}{\sqrt{sin^2βsin^2γ+8cosβ^2cos^2γ}}-1\le \frac{1}{\frac97sinβsinγ}-1<0$

这样就必须能推导出 $sinβsinγ>\frac79$才行。

可是从从哪里推导得出这个式子呢？

刚看到，知乎里有互动，我来问问作者。然后在这里分享。

另外看到反证法也很好。

参见：zhihu.com/question/266820353  里面的 手写作业。

走走看看

两次在那里提问，没有人回答，我甚至怀疑，那个式子＜0是猜想的，不一定成立。

今天早上，忽然想到了另一种变形，变形后确实能证明＜0成立。

回头有空时，写出这个过程。

走走看看

走走看看 发表于 2022-6-9 07:53
两次在那里提问，没有人回答，我甚至怀疑，那个式子＜0是猜想的，不一定成立。

今天早上，忽然想到了另一 ...

\begin{align*}

&tan^2β+tan^2γ\le 7\\
&\riff\frac{1}{cos^2β}+\frac{1}{cos^2γ}\le5\\
&\riff cos^2β+cos^2γ\le5cos^2βcos^2γ\\

sin^2βsin^2γ+8cos^2βcos^2γ
=1-cos^28-cos^2γ+9cos^2βcos^2γ\\\\
\ge1+4cos^2βcos^2γ&>1 \\
\\
\frac{1}{\sqrt{sin^2βsin^2γ+8cos^2βcos^2γ}}-1&<0
\end{align*}