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本帖最后由 Czhang271828 于 2023-8-23 20:48 编辑
不妨设 $x\geq y\geq z$, 则
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\sqrt{\dfrac{x^2+8yz}{y^2+z^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2+8zx}{z^2+x^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2+8xy}{x^2+y^2}}\geq \sqrt{\dfrac{x^2+8z^2}{y^2+z^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{8z^2+x^2}}+\sqrt{\dfrac{8xy}{x^2+y^2}}.
$$
然后证明对 $0<\alpha\leq 0.8$ 总有
$$
\sqrt{\dfrac{x^2+8z^2}{y^2+z^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{x^2+8z^2}}\geq (x/y)^\alpha+(y/x)^\alpha.
$$
等价地, 证明 $\dfrac{x^2+8z^2}{y^2+z^2}\geq (x^2/y^2)^\alpha$ 即可. 分别取左式 $\dfrac{x^2+8y^2}{2y^2}$ 与 $\dfrac{x^2}{y^2}$, 不等式显然.
回到原式, 只需证明存在 $0<\alpha \leq 0.8$ 使得
$$
(x/y)^\alpha+(y/x)^\alpha+\sqrt{\dfrac{8xy}{x^2+y^2}}\geq 4.
$$
记 $t=x/y\geq 1$, 下证明 $f_\alpha(t):=t^\alpha+t^{-\alpha}+\sqrt{8/(t+t^{-1})}\geq 4$. 分析单调性知, 只需证明 $f_\alpha''(1)>0$ 即可. 此时 $2\alpha^2-1>0$, 即, $\alpha > 1/\sqrt 2$.
更新
上述解法对 $\sum \sqrt{\dfrac{x^2+kyz}{y^2+z^2}}\geq 2+\sqrt{k/2}$ 成立, 若 $t+k>2t^{\sqrt[4]{k/32}}$ 在 $[1,\infty)$ 上恒成立. 粗略作图得最大值 $k=19.75\pm 0.1$.
感觉上述做法还是很粗糙, 应该可以继续玩玩. 搜到了如下结果, 可以考虑汇总?
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kuing
发表于 2023-6-15 21:52
Czhang271828
发表于 2023-8-23 17:23
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