三角形的有关不等式，求参数的最大值

lemondian

在$\triangle ABC$中，有$\sum\sqrt{\cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}-1}\geqslant \lambda \sum\sqrt{\cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}}$，求参数$\lambda $的最大值。

kuing

三角函数前永远不加  \   

三角形提供的信息只有一丁点：令 `x=\cot(A/2)` 等则 `x+y+z=xyz`。

问题化为：`x`, `y`, `z>0`, `x+y+z=xyz`，求 `\lambda` 的最大值使 `\sum\sqrt{xy-1}\geqslant\lambda\sum\sqrt{xy}` 恒成立。

齐次化就是
\[\sum\sqrt{xy-\frac{xyz}{x+y+z}}\geqslant\lambda\sum\sqrt{xy},\]
也就是
\[\sum\sqrt{xy(x+y)}\geqslant\lambda\sqrt{x+y+z}\sum\sqrt{xy},\]
待续……吃饭先……

lemondian

kuing 发表于 2022-10-19 19:16
三角函数前永远不加  \   

三角形提供的信息只有一丁点：令 `x=\cot(A/2)` 等则 `x+y+z=xyz`。

还在等Kuing吃完饭

kuing

你先加 \

lemondian

kuing 发表于 2022-10-20 11:45
你先加 \

好吧，已改！
习惯真难改呀

hbghlyj

lemondian 发表于 2022-10-20 07:21
好吧，已改！
习惯真难改呀

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lemondian

kuing 发表于 2022-10-20 11:45
你先加 \

@kuing:发个答案吧

kuing

lemondian 发表于 2022-10-22 08:44
@kuing:发个答案吧

主要是我还没想出绝妙的证法。

那就先上个难看的 SOS 证法吧：承接 2# 的
\[\sum\sqrt{xy(x+y)}\geqslant\lambda\sqrt{x+y+z}\sum\sqrt{xy},\]
当 `x=y=z` 时有 `\lambda\leqslant\sqrt{2/3}`，下面证明当 `\lambda=\sqrt{2/3}` 时不等式成立，此时不等式等价于以下的
\begin{gather*}
\sum\sqrt{xy}\bigl(\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+z)}\bigr)\geqslant0,\\
\sum\sqrt{xy}\frac{x+y-2z}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{2(x+y+z)}}\geqslant0,\\
\sum\left(\sqrt{yz}\frac{y-x}{\sqrt{3(y+z)}+\sqrt{2(x+y+z)}}+\sqrt{zx}\frac{x-y}{\sqrt{3(z+x)}+\sqrt{2(x+y+z)}}\right)\geqslant0,\\
\sum\sqrt z(x-y)\left(\frac{\sqrt x}{\sqrt{3(z+x)}+\sqrt{2(x+y+z)}}-\frac{\sqrt y}{\sqrt{3(y+z)}+\sqrt{2(x+y+z)}}\right)\geqslant0,\\
\sum\sqrt z(x-y)\frac{\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)\sqrt{2(x+y+z)}+\sqrt{3x(y+z)}-\sqrt{3y(z+x)}}{\bigl(\sqrt{3(z+x)}+\sqrt{2(x+y+z)}\bigr)\bigl(\sqrt{3(y+z)}+\sqrt{2(x+y+z)}\bigr)}\geqslant0,\\
\sum\sqrt z(x-y)\frac{\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)\sqrt{2(x+y+z)}+\frac{\sqrt3(x-y)z}{\sqrt{x(y+z)}+\sqrt{y(z+x)}}}{\bigl(\sqrt{3(z+x)}+\sqrt{2(x+y+z)}\bigr)\bigl(\sqrt{3(y+z)}+\sqrt{2(x+y+z)}\bigr)}\geqslant0,
\end{gather*}
最后一式显然成立，即得证。

lemondian

kuing 发表于 2022-10-19 19:16
三角函数前永远不加  \   

三角形提供的信息只有一丁点：令 `x=\cot(A/2)` 等则 `x+y+z=xyz`。

令$a^2=\cot(A/2)$，是不是式子可好看，可好证？