来自讨论组的根式小不等式

kuing

v6 23:30:57

这玩意有啥高逼格点的写法没有
切线法？
kuing 23:33:54
可以试试
先看看何时娶等
v6 23:38:41
x=1+sqrt(3)/2
kuing 23:42:25
那先x->1+y会不会好看些
v6 23:43:32
是啊
……

题目：求证
\[\sqrt x+\sqrt{2-x}\leqslant-x+1+\frac{3\sqrt3}2.\]
证明：令 `x=1+y`，不等式化为更好看的
\[\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}+y\leqslant\frac{3\sqrt3}2,\]显然如果 `y<0` 则作置换 `y\to-y` 左边将更大，因此只需考虑 `y\in[0,1]` 的情形即可，此时令 `y=\sin\theta`, `\theta\in[0,\pi/2]`，则
\begin{align*}
\sqrt{1+y}+\sqrt{1-y}+y
&=\sqrt{2+2\sqrt{1-y^2}}+y\\
&=\sqrt{2+2\cos\theta}+\sin\theta\\
&=2\cos\frac\theta2+\sin\theta\\
&=\sin\left( \frac\pi2-\frac\theta2 \right)+\sin\left( \frac\pi2-\frac\theta2 \right)+\sin\theta\\
&\leqslant3\sin\frac{\frac\pi2-\frac\theta2+\frac\pi2-\frac\theta2+\theta}3\\
&=\frac{3\sqrt3}2.
\end{align*}