寻找四元不等式的出处及证明

lemondian

求最小的实数$k$，使得对于任意的$a,b,c,d\inR$，有$\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}+\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)}+\sqrt{(c^2+1)(d^2+1)(a^2+1)}$ $+\sqrt{(d^2+1)(a^2+1)(b^2+1)}\geqslant 2(ab+bc+cd+da+ac+bd)-k$。
听说这是伊朗的竞赛题，请问哪位知道是哪一年的呢？

kuing

出处不知道，但证明很容易。

还是用当年 forum.php?mod=viewthread&tid=3449 这招：注意到恒等式
\[(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2,\]
故
\[\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geqslant ab+bc+ca-1,\]
同理有另外三式，相加即得
\[\LHS\geqslant2(ab+bc+cd+da+ac+bd)-4,\]
最后再看看能否取等，显然当 `a=b=c=d=\sqrt3` 时取等，那么 `k` 的最小值就是 `4` 了。

lemondian

kuing 发表于 2023-1-10 15:54
出处不知道，但证明很容易。

还是用当年 https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid ...

柯西也可以证的呢