求$\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 4}(x_i+x_j)\sqrt{x_ix_j}$的最大值

Tesla35

已知$x_1,x_2,x_3,x_4>0$且$x_1+x_2+x_3+x_4=1$,求$\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 4}(x_i+x_j)\sqrt{x_ix_j}$的最大值

kuing

先放两个类似题的链接：
forum.php?mod=viewthread&tid=5526
forum.php?mod=viewthread&tid=8489&page=2#pid47757（34#）

kuing

2# 链接白给，原来不是一类题

注意到
\[(x-y)^4\geqslant0\iff xy(x^2+y^2)\leqslant\frac{x^4+6x^2y^2+y^4}4,\]
所以
\begin{align*}
\sum_{1\leqslant i<j\leqslant4}\sqrt{x_ix_j}(x_i+x_j)&\leqslant\frac14\sum_{1\leqslant i<j\leqslant4}(x_i^2+6x_ix_j+x_j^2)\\
&=\frac34\sum_{i=1}^4x_i^2+\frac32\sum_{1\leqslant i<j\leqslant4}x_ix_j\\
&=\frac34(x_1+x_2+x_3+x_4)^2\\
&=\frac34,
\end{align*}
四数相等时取等。

Tesla35

kuing 发表于 2025-5-2 14:47
2# 链接白给，原来不是一类题

注意到

普普通通的不等式都是奇技淫巧

kuing

要是变成五元或以上，恐怕以上方法都行不通

五元猜测 (1/8,1/8,1/8,1/8,1/2) 取等……