一个经典老题目没找到解答

wanhuihua

$$
\eqalign{
  & Let{\text{ }}a,b,c,d \geqslant 0.  \cr
  & {\text{Prove  }}\left( {a + b + c + d} \right)^2 \left( {ab + bc + ac + ad + bd + cd} \right)^2  \geqslant {\text{ }}144\,\left( {a^2  + b^2  + c^2  + d^2 } \right)abcd{\text{ }} \cr}
$$

kuing

原来是双取等呀，看来都几难，出“茅招”算啦……（大概不是你想要的证明😌

引理：设变量 `a`, `b`, `c` 满足 `0\leqslant a\leqslant b\leqslant c`，且 `a+b+c` 以及 `ab+bc+ca` 均为定值，则 `abc` 取最大值当且仅当 `a=b`。

引理的证明稍后再补充。由引理可得：

命题：设变量 `a`, `b`, `c`, `d\geqslant0` 满足 `a+b+c+d` 以及 `ab+ac+ad+bc+bd+cd` 均为定值，则 `abcd` 取最大值时至少三个变量相等。

证明：不妨设 `a\leqslant b\leqslant c\leqslant d`，记 `m=a+b+c+d`, `n=ab+ac+ad+bc+bd+cd`。

固定 `a`，则 `b+c+d=m-a` 为定值， `bc+bd+cd=n-a(m-a)` 也为定值，由引理知 `bcd` 取最大值时必有 `b=c`，同理固定 `d` 时则 `abc` 取最大值时必有 `a=b`。

而由条件可知 `abcd` 的最大值存在，那么由上述讨论知取最大值时必定 `a=b=c`，命题得证。

回到原题，固定 `a+b+c+d` 以及 `ab+ac+ad+bc+bd+cd`，则 `a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)` 也为定值，此时整个不等式只有 `abcd` 是变的，那么由上述命题可知只需证明 `a=b=c` 的情形即可，设它们都为 `x`，则不等式分解为
\[9x^2(d-x)^2(d-3x)^2\geqslant0,\]
即得证，取等条件除了 `a=b=c=d` 外还有 `d=3a=3b=3c` 及其轮换。

kuing

补充：引理的证明

先说说直观理解，可以构造三次函数来看：
令 `f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc`，则当 `a+b+c` 与 `ab+bc+ca` 均为定值时 `f(x)` 只能上下移，而 `abc=-f(0)`，因此要其最大，就要 `f(x)` 移到最低，下移时 `a` 增大 `b` 减少，直到 `a=b` 不能再移，所以。

要想纯代数或者说严谨一点，那还是用 pqr 那套吧。

由 `(a+b+c)^2\geqslant3(ab+bc+ca)` 可设 `a+b+c=p`, `ab+bc+ca=(p^2-q^2)/3`，其中 `p\geqslant q\geqslant0`，则有恒等式
\begin{align*}
&(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\\
={}&{-}27\left(abc-\frac{(p-2q)(p+q)^2}{27}\right)\left(abc-\frac{(p-q)^2(p+2q)}{27}\right),
\end{align*}
而 `(p-q)^2(p+2q)-(p-2q)(p+q)^2=4q^3\geqslant0`，所以由上式得
\[\frac{(p-2q)(p+q)^2}{27}\leqslant abc\leqslant\frac{(p-q)^2(p+2q)}{27},\quad(*)\]
这里只看右边的，令
\begin{align*}
p-q&=3x,\\
p+2q&=3y,
\end{align*}
则 `0\leqslant x\leqslant y` 且 `p=2x+y`, `q=y-x`，有 `p^2-q^2=3x(x+2y)`，也就是说
\begin{align*}
a+b+c&=x+x+y,\\
ab+bc+ca&=xx+xy+yx,
\end{align*}
而式 (*) 的右边为
\[abc\leqslant xxy,\]
这样就证明了 `abc` 取最大值当且仅当 `a=b`。

wanhuihua

artofproblemsolving.com/community/c6h1364337    据说以前有好的解答被删除了，你的方法也很强，具有通用性