一个四元条件不等式问题

力工

已知实数$x,y,z,w$满足$xw-yz=1$，试求$min\{x^2+y^2+z^2+w^2+xz+yw\}$.

力工

回复 1# 力工

拉格朗日乘数法好坑。

kuing

换个元就非常简单了啊

令 $x=a+b$, $y=c+d$, $z=a-b$, $w=c-d$，则 $xw-yz=1\iff2(bc-ad)=1$，且
\begin{align*}
x^2+y^2+z^2+w^2+xz+yw&=3a^2+b^2+3c^2+d^2 \\
&=2\sqrt3(bc-ad)+\bigl(\sqrt3a+d\bigr)^2+\bigl(\sqrt3b-c\bigr)^2 \\
&\geqslant \sqrt3,
\end{align*}
等号成立当且仅当 $\sqrt3a+d=\sqrt3b-c=0$，结合 $2(bc-ad)=1$，即 $c=\sqrt3b$, $d=-\sqrt3a$, $2\sqrt3(a^2+b^2)=1$，故显然有无数个取等条件，所以所求的最小值就是 $\sqrt3$。

kuing

刚才讨论组：

第（3）问与 1# 类似。
（话说这题目搞得，为啥要加这个第三问呢，跟那集合什么的根本无关）

令 `m=\sqrt3(a+b)`, `q=a-b`, `p=\sqrt3(c+d)`, `n=c-d`，则条件
\[mp-3nq=\sqrt3\iff6(bc+ad)=\sqrt3,\]
所求式为
\begin{align*}
&m^2+3n^2+p^2+3q^2+mq+np\\
={}&\bigl( 6+\sqrt3 \bigr)a^2+\bigl( 6-\sqrt3 \bigr)b^2+\bigl( 6+\sqrt3 \bigr)c^2+\bigl( 6-\sqrt3 \bigr)d^2\\
\geqslant{}& 2\sqrt{\bigl( 6-\sqrt3 \bigr)b^2\bigl( 6+\sqrt3 \bigr)c^2}+2\sqrt{\bigl( 6+\sqrt3 \bigr)a^2\bigl( 6-\sqrt3 \bigr)d^2}\\
={}&2\sqrt{33}(\abs{bc}+\abs{ad})\\
\geqslant{}&2\sqrt{33}(bc+ad)\\
={}&\sqrt{11}.
\end{align*}

kuing

kuing 发表于 2022-8-28 14:09
刚才讨论组：

第（3）问与 1# 类似。

顺便说一下第（2）问：只需注意到恒等式
\[7(s^2+3t^2)=(2s+3t)^2+3(s-2t)^2.\]