已知正实数x、y、z满足：x+y+z=1，求证：$\sqrt{\frac{y+z}{x}}+...$

走走看看

已知正实数x、y、z满足：x+y+z=1，求证：$\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{x+z}{y}}+\sqrt{\frac{x+y}{z}}\ge2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}}$

kuing

\begin{align*}
\sum\sqrt{\frac{y+z}x}&=\frac1{\sqrt2}\sum\frac{\sqrt{(1+1)(y+z)}}{\sqrt x}\\
&\geqslant\frac1{\sqrt2}\sum\frac{\sqrt y+\sqrt z}{\sqrt x}\\
&=\frac1{\sqrt2}\sum\sqrt x\left( \frac1{\sqrt y}+\frac1{\sqrt z} \right)\\
&\geqslant2\sqrt2\sum\frac{\sqrt x}{\sqrt y+\sqrt z}\\
&\geqslant2\sqrt2\sum\frac{\sqrt x}{\sqrt{(1+1)(y+z)}}\\
&=2\sum\sqrt{\frac x{y+z}}.
\end{align*}

走走看看

kuing 发表于 2022-5-24 19:48
\begin{align*}
\sum\sqrt{\frac{y+z}x}&=\frac1{\sqrt2}\sum\frac{\sqrt{(1+1)(y+z)}}{\sqrt x}\\
&\geqsl ...

佩服！

只用了几次柯西不等式就解决了。从解答过程看，x+y+z=1这个条件可以不要。