求证一个三元不等式

lemondian

kuing 发表于 2022-6-2 02:51
最后一行为什么是显示的呢？

别人写的，我只是一个搬运工
话说：想看你的答案呀

kuing

lemondian 发表于 2022-6-3 16:58
别人写的，我只是一个搬运工
话说：想看你的答案呀

搬运最好注明来源、作者。

我的证明有空再写。

kuing

kuing 发表于 2022-5-30 15:04
`x,y,z>0,xy+yz+zx=1`，证 `\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}>7`。

一说有空写就没管了，幸亏当时的草稿还能找到，不然都忘了当时是怎么搞出来嘀。

要证此不等式，只需证明：

命题 1：设 `x`, `y`, `z>0`，若 `\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}=7`，则 `xy+yz+zx<1`。

证明：令 `\sqrt{1+8x}=1+4a`, `\sqrt{1+8y}=1+4b`, `\sqrt{1+8z}=1+4c`，则 `a`, `b`, `c>0`, `a+b+c=1`，则有 `x=a(1+2a)=a(3a+b+c)` 等，于是
\begin{align*}
xy+yz+zx-1&=\sum ab(3a+b+c)(a+3b+c)-(a+b+c)^4\\
&=-\sum a^2(a-b)(a-c)-2\sum ab(a-b)^2-2abc(a+b+c)\\
&<0,
\end{align*}
命题 1 得证。

由命题 1 及单调性立得：

命题 2：设 `x`, `y`, `z>0`，若 `\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}\leqslant7`，则 `xy+yz+zx<1`。

取其逆否命题即：设 `x`, `y`, `z>0`，若 `xy+yz+zx\geqslant1`，则 `\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}>7`。