柯西不等式何时反向？

hbghlyj

kuing 发表于 2022-9-8 17:27
再来一个，还是继续运用“反向柯西” `(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant(ac-bd)^2` 来玩：

@kuing提到一个不等式：$$\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{c^2-d^2}\leqslant|ac-bd|$$这是应用于$\Bbb L^2=(\Bbb R^2, -{\rm d}x^2 + {\rm d}y^2)$的柯西不等式。就是说两个向量的标量积为：$$\langle(a,b),(c,d)\rangle = -ac+bd$$但这不是内积（不是正定的）。

给定一个非零向量 $\bf x$，我们说：

• 如果 $\langle {\bf x}, {\bf x} \rangle > 0 $，则 $\bf x$ 是类空矢量；
• 如果 $\langle {\bf x}, {\bf x} \rangle < 0 $，则 $\bf x$ 是类时矢量；
• 如果 $\langle {\bf x}, {\bf x} \rangle = 0 $，则 $\bf x$ 是类光矢量。

我们定义 $\|{\bf x}\| = \sqrt{|\langle {\bf x},{\bf x}\rangle|}$

如果 ${\bf x},{\bf y}$ 是类时向量，我们有柯西不等式和三角不等式的反向形式：$$|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|, \quad \|{\bf x}+{\bf y}\| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.$$

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如果考虑 $\Bbb L^3=(\Bbb R^3, -{\rm d}x^2 + {\rm d}y^2+{\rm d}z^2)$，并考虑一个双叶双曲面（我们取上叶）$${\Bbb H}^2(1) = \{ {\bf x} \in \Bbb L^3 \mid \langle {\bf x}, {\bf x} \rangle = -1, ~ x_3 > 0\},$$我们将得到 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 在这个集合的切平面上的限制将是我们所熟知和喜爱的正定内积。这个集合是双曲平面。
然而，$\Bbb L^2$，即Lorentz–Minkowski Plane不是双曲平面。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-25 13:43
如果 ${\bf x},{\bf y}$ 是类时矢量，我们有柯西不等式和三角不等式的反向形式：$$|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|, \quad \|{\bf x}+{\bf y}\| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.$$

在$\mathbb{L}^2$中，两个类空矢量所张成的平面必跨越光锥。所以柯西不等式和三角不等式的反向形式总是成立。

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在$\mathbb{L}^n(n>2)$中，两个类空矢量有两种情况：它们所张成的平面跨越光锥或不跨越光锥：
如果 ${\bf x},{\bf y}$ 是类空矢量，且它们所张成的平面不跨越光锥。在这个平面内没有任何类时矢量或类光矢量。在这种情况下，我们有柯西不等式和三角不等式，像平常一样：$$|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \leq \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|, \quad \|{\bf x}+{\bf y}\| \leq \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.$$
如果 ${\bf x},{\bf y}$ 是类空矢量，且它们所张成的平面跨越光锥，我们有柯西不等式和三角不等式的反向形式：$$|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|, \quad \|{\bf x}+{\bf y}\| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.$$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-25 14:12
如果 ${\bf x},{\bf y}$ 是类空向量，且它们所张成的平面包括光锥，我们有柯西不等式和三角不等式的反向形式：$$|\langle {\bf x},{\bf y}\rangle| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\|\|{\bf y}\|, \quad \|{\bf x}+{\bf y}\| \color{red}{\geq} \|{\bf x}\| + \|{\bf y}\|.$$

这种情况在物理书中举了数值例子：
Now consider the case, in Minkowski coordinates, where\[m=(0,5,0,0)\]and\[n=(4,5,0,0)\]These vectors span the  t−x  plane, whose geometry is not Euclidean, and they do not satisfy the Euclidean Cauchy-Schwarz inequality, since\[m⋅n=0\times4-5\times5-0\times0-0\times0=−25\], whereas\[|m||n|=5\times3=15\] . Two vectors of this type will always satisfy the reversed version of the Cauchy-Schwarz inequality (problem Q18). The converse holds in the sense that if two spacelike vectors satisfy the strict inequality\[|m⋅n|>|m||n|\], then they span the light cone.

hbghlyj

综上所述，当 n>1 时，
$$\small\sqrt{-x_0^2+x_1^2+\dots+x_n^2}\sqrt{-y_0^2+y_1^2+\dots+y_n^2}\mathrel{\boxed{?}}\abs{-x_0y_0+x_1y_1+\dots+x_ny_n}$$
有时$\leqslant$不等式成立，有时$\geqslant$不等式成立。

hbghlyj

Reversal in Minkowski space
The Minkowski space metric $ \eta _{\mu \nu } $ is not positive-definite, which means that $ \|u\|^{2}=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu } $ can have either sign or vanish, even if the vector $u$ is non-zero. Moreover, if $u$ and $v$ are both timelike vectors lying in the future light cone, the triangle inequality is reversed:
$$ \|u+v\|\geq \|u\|+\|v\|. $$
A physical example of this inequality is the twin paradox in special relativity. The same reversed form of the inequality holds if both vectors lie in the past light cone, and if one or both are null vectors. The result holds in $ n+1 $ dimensions for any $ n\geq 1 $.
If the plane defined by $ u $ and $ v $ is space-like (and therefore a Euclidean subspace) then the usual triangle inequality holds.

hbghlyj

设 $v,w\in\mathbb{L}^n$，$t$为任意实数，则矢量 $x=v+tw$ 与自身的内积
$$⟨x,x⟩=⟨v+tw,v+tw⟩=|v|^2+2⟨v,w⟩t+|w|^2t^2$$
考虑关于 $t$ 的二次方程$⟨x,x⟩=0$：

• 设 $v$ 和 $w$ 一个是类时矢量、另一个是类空矢量，则 $v,w$ 所张成的平面跨越光锥，即$⟨x,x⟩=0$有实数根，则判别式为正：
  $$⟨v,w⟩^2-|v|^2|w|^2\color{red}\ge0$$反向的柯西不等式成立。
• 设 $v$ 和 $w$ 是类时矢量，则 $v,w$ 所张成的平面跨越光锥，即$⟨x,x⟩=0$有实数根，则判别式为正：
  $$⟨v,w⟩^2-|v|^2|w|^2\color{red}\ge0$$反向的柯西不等式成立。
• 设 $v$ 和 $w$ 是类空矢量，分两种情况：
  
  • 如果 $v,w$ 所张成的平面不跨越光锥，即$⟨x,x⟩=0$无实数根，则判别式为负：
    $$⟨v,w⟩^2-|v|^2|w|^2\le0$$通常的柯西不等式成立。
  • 如果 $v,w$ 所张成的平面跨越光锥，即$⟨x,x⟩=0$有实数根，则判别式为正：
    $$⟨v,w⟩^2-|v|^2|w|^2\color{red}\ge0$$反向的柯西不等式成立。