双曲角

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@Czhang271828 讲过，三种二维 $\mathbb R$-代数

Czhang271828 发表于 2023-3-15 15:10
这就是二维 $\mathbb R$-代数分类, 把 $\mathbb R^2$ 嵌入 $\mathbb R^{2\times 2}$ 中即可. 最后的结果确实是上述三种, 等价于三种 $2\times 2$ 实矩阵的最简形式.

其中一种为
$$\{a+bj\mid a,b\inR\}$$
$a+bj$ 是一个分裂复数 en.wikipedia.org/wiki/Split-complex_number，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $j^2=1$，这表示单位双曲线的参数化
$$N(a+bj)=1\iff a^2-b^2=1$$
详细计算：$$(a+bj)^*=a-bj$$$$N(a+bj)=(a+bj)(a-bj)=a^2-b^2j^2=a^2-b^2$$问题：
分裂复数的幅角是什么？它是该数表示的向量的双曲角吗？

在分裂复数中，复数幅角的类似物
$$\arg(a+bj)=\frac12\log \left(\frac{a+b}{a-b}\right)$$
这是有道理的；如果你取一个分裂复数 $a+bj$ 并将其乘$n$次方，你会得到 $(a+bj)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k j^k=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k} a^{n-2k} b^{2k}+j\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \binom{n}{2k+1} a^{n-2k-1} b^{2k+1}$，所以$$\arg((a+bj)^n)=\frac12\log \left(\frac{(a+b)^n}{(a-b)^n}\right)=n\arg(a+bj)$$

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复数的exp函数$$\exp(i\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(i\theta )^{n}}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\theta ^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\theta ^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$$
得出复数的Euler公式
$$\exp(i\theta )=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$$
得出分裂复数的幅角
$$\arg(a+bi)=\arctan(\frac ba)=\frac1{2i}\log \left(\frac{a+bi}{a-bi}\right)$$

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分裂复数的exp函数
$$\exp(j\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(j\theta )^{n}}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\theta ^{2n}}{(2n)!}+j\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\theta ^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$$
得出分裂复数的Euler公式
$$\exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )$$
得出分裂复数的幅角
$$\arg(a+bj)=\arctanh(\frac ba)=\frac12\log \left(\frac{a+b}{a-b}\right)$$
其中$|a|\ne|b|$才有意义。

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任何 $z$ 都可以唯一地写成 $z=e^{i\theta}|z|$，其中 $\theta$ 在 $[0,2\pi)$ 内。通过替换 $e^{i\theta}=\omega$ 和 $\mu=|z|$ 我们可以看到：任何 $z$ 都可以唯一地写成 $z=\omega\mu$，其中 $|\omega|=1$ 且 $\mu$ 是正实数。我将称 $\omega=e^{i\theta}$ 为 $z$ 的单位部分。

所以：两个复数，如果它们的模和单位部分相等，则它们相等。

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我将展示推导洛伦兹变换和推导“旋转变换”一样简单。

什么是保持欧几里得模不变的变换？旋转。什么是二维旋转？它完全等价于乘以 $e^{i\theta}$（一个单位复数）。

什么是双曲数的模？它是 $\sqrt{a^2-b^2}$。哇，这正是闵可夫斯基模的平方！（检查一下）

什么是洛伦兹变换？保持闵可夫斯基模不变的变换，即“双曲模”。什么是保持双曲数模不变的变换？乘以 $e^{j\theta}$。所以洛伦兹变换完全等价于乘以一个单位双曲数！现在我们只需要弄清楚哪个单位双曲数，即 $\omega$。

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假设我是一个静止的观察者，所以我的坐标是 $(t,x)=(t,0)$。假设另一个惯性观察者经过原点，他的坐标是 $(t,x)=(1,v)t=(1+jv)t$。在他自己的参考系中，根据定义，他的坐标是 $(t',0)$。令 $z'=(t',0)=t'$ 和 $z=(t,x)=(1+jv)t$。

我们知道 $T(z)=z'$，根据我们的发现 $T(z)=\omega z=z'$。通过重写 $\omega(1+jv)t=t'$。如果它们相等，它们的单位部分也相等，可以通过在两边除以模 $\sqrt{z \cdot z}$ 得到（推导一下）：$\omega \sqrt{1-v^2}/(1-jv)=1$，或者 $\omega=(1-jv)/\sqrt{1-v^2}$。

如果不清楚，请检查乘以 $\omega=(1-jv)/\sqrt{1-v^2}$ 完全等价于洛伦兹变换。

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jstor.org/stable/2303307
在1941年，E.F. Allen 使用分裂复数 证明了 九点双曲线

(一个三角形，顶点在 $zz^∗ = 1$ 上)
相关帖子：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=4449&pid=48946

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我知道复数$\{x+y i\mid x,y\in\mathbb{R}\},i^2=-1$的射影直线$\mathbb{CP}^1$在拓扑上是一个球面，即黎曼球面，比原来增加的点(无穷远点)只有一个：$[1, 0]$
对偶复数$\{x+y\varepsilon\mid x,y\in\mathbb{R}\},\varepsilon^2=0$的射影直线是一个圆柱面，相当于把平面横向卷起来，保持$\varepsilon$轴不变。
因为是把平面卷起来，比原来增加的点(最左边和最右边的接缝)是 $\{[1,x\varepsilon]\mid x\inR\}$. 它们组成一条直线，在圆柱面上与原来的$\varepsilon$轴 $\{[x\varepsilon,1]\mid x\inR\}$ 相对。
那么，分裂复数射影直线是什么形状？

它是一个单叶双曲面，参见 en.wikipedia.org/wiki/Projective_line_over_a_ring#Over_topological_rings 的第三段。更一般地说，如果我没弄错的话，环 $\mathbb{R}[j]/(j^2-t)$ 上的射影直线在拓扑上是曲线 $|x+yj|^2=x^2-ty^2=1$ 围绕 $y$ 轴旋转的曲面。

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Lecture notes for the course MAT6702 - Topics in Lorentz Geometry University of São Paulo (March 2019)

在 asc.ohio-state.edu/terekcouto.1/texts/ 有很多短文章