来自讨论组群的复数题：`z_1/z_2+z_2/z_3+z_3/z_1=1`

kuing

  生如夏花(2365*****) 2024/3/13 15:43:22
给定实数 `a`, `b`, `c`，已知复数 `z_1`, `z_2`, `z_3` 满足 `\led
\abs{z_1}=\abs{z_2}=\abs{z_3}&=1,\\
\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}&=1,
\endled` 求 `\abs{az_1+bz_2+cz_3}` 的值。

解：因为 `z\bar z=\abs z^2`，则对于题中的三个复数有 `\overline{z_i}=1/z_i`, `i=1`, `2`, `3`，于是
\[\overline{\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}} =\frac{z_2}{z_1}+\frac{z_3}{z_2}+\frac{z_1}{z_3},\]
而 `\bar1=1`，所以
\[\frac{z_2}{z_1}+\frac{z_3}{z_2}+\frac{z_1}{z_3}=\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}=1,\]
作差分解得
\[\frac{(z_1-z_2)(z_1-z_3)(z_2-z_3)}{z_1z_2z_3}=0,\]
所以三复数中至少两个相等，如果 `z_1=z_2`，代入上面得 `z_1/z_3+z_3/z_1=0`，所以 `z_3=\pm i\cdot z_1`，那么
\[\abs{az_1+bz_2+cz_3}=\abs{(a+b\pm ci)z_1}=\abs{a+b\pm ci}=\sqrt{(a+b)^2+c^2},\]
而对于 `z_1=z_3` 和 `z_2=z_3`，则结果分别为 `\sqrt{(a+c)^2+b^2}` 和 `\sqrt{(b+c)^2+a^2}`。

kuing

令 `\omega_1=z_1/z_2`, `\omega_2=z_2/z_3`, `\omega_3=z_3/z_1`, `\omega_4=-1`，则依题意有 `\abs{\omega_1}=\abs{\omega_2}=\abs{\omega_3}=\abs{\omega_4}` 且 `\omega_1+\omega_2+\omega_3+\omega_4=0`。

我们知道把四个模相等的向量首尾相连起来得零，这就构成菱形，所以必然是两组相反向量，那么对应复数就是两组相反复数，即上述四个 `\omega_i` 可以分成两组相反复数，所以 `\omega_1`, `\omega_2`, `\omega_3` 一定有一个 `=1` 且另外两个之和为零，下同 1#。

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然后傍晚继续问：

  生如夏花 2024/3/15 19:01:45
这是用了几何方法证明的，能不能就用这四个复数代数运算搞出来？

是可以的，仿照上面取共轭的方法即可：

由 `\overline{\omega_1}+\overline{\omega_2}+\overline{\omega_3}+\overline{\omega_4}=0` 及它们的模相等得
\[\frac1{\omega_1}+\frac1{\omega_2}+\frac1{\omega_3}+\frac1{\omega_4}=0,\]
所以
\[\frac1{\omega_1}+\frac1{\omega_2}+\frac1{\omega_3}-\frac1{\omega_1+\omega_2+\omega_3}=0,\]
去分母即分解为 `(\omega_1+\omega_2)(\omega_1+\omega_3)(\omega_2+\omega_3)=0`。

其妙

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其妙 发表于 2025-5-1 21:12
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